Nol fungsi pembagi adalah $x=-3$
Gunakan metode horner :

Koefisien hasil bagi adalah $1-37.$

Jadi hasil pembagian $f(x)=x^{3}-2x+1$ oleh $x+3$ adalah $x^{2}-3x+7$.

Dari persamaan $x^{2}-x+3=0$ dapat diperoleh :

$\alpha+\beta=1$ dan $\alpha\beta=3$

Penjumlahan akar-akar baru yaitu :
$\begin{aligned} \alpha^{2}-\alpha+\beta^{2}-\beta & =\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha\beta\\
&=\left(\alpha+\beta\right)^{2}-2\alpha\beta-(\alpha+\beta)\\
&=1^{2}-2(3)-1=-6\\
\end{aligned}$

Perkalian akar akar baru yaitu :
$\begin{aligned} (\alpha^{2}-\alpha)x(\beta^{2}-\beta) & =\left(\alpha\beta\right)^{2}-\alpha\beta\left(\alpha+\beta\right)+\alpha\beta\\
&=3^{3}-3(1)+3=9\\
\end{aligned}$

Jadi persamaan kuadratnya adalah $x^{2}+6x+9=0$.

Dari persamaan $2x^{2}-3x+5=0$ diperoleh :

$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}$ dan $x_{1}x_{2}=\frac{5}{2}$

Misal akarnya $y_{1}=\frac{1}{x_{1}}$ dan $y_{2}=\frac{1}{x_{2}}$

$\begin{aligned} *\, y_{1}+y_{2} & =\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\\
&=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\\
&=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\\
&=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\\
&=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}\\
\end{aligned}$

$\begin{aligned} *\, y_{1}y_{2} &=\frac{1}{x_{1}}\frac{1}{x_{2}}\\
&=\frac{1}{x_{1}x_{2}}\\
&=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}\\
\end{aligned}$

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah :

$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}=0\rightarrow5x^{2}-3x+2=0$

Misal $\alpha=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}x\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}$

$\begin{aligned} \beta= &\sqrt{4+\sqrt{57+24\sqrt{3}}}\\
&=\sqrt{4+\sqrt{57+2\sqrt{12^{2}.3}}}\\
&=\sqrt{4+\left(\sqrt{48}+\sqrt{9}\right)}\\
&=\sqrt{4+3+2\sqrt{12}}\\
&=\sqrt{7+2\sqrt{12}}=2+\sqrt{3}\\
\end{aligned}$

$\alpha+\beta=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$

$\alpha\beta=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$

Persamaan kuadrat barunya adalah $x^{2}-4x+1=0$.

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a+b}=a^{2}-ab+b^{2}$

$\frac{\left(x^{18}-y^{18}\right)}{x-y}$

$=\frac{(x-y)(x^{17}+x^{16}y+x^{15}y^{2}+………+xy^{16}+y^{17})}{x-y}$

$=x^{17}+x^{16}y+x^{15}y^{2}+………+xy^{16}+y^{17}$

Suku ke 8 = $x^{17-7}.y^{7}=x^{10}.y^{7}$

Gunakan metode Horner.
Karena $f(x)$ habis dibagi, maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^{2}-2x+1$ menghasilkan $0$.

Dari bagan bisa diperoleh :

$-p+q=7\mbox{….(1)}$

$-2p+q=-4\mbox{…..(2)}$

Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :

$p=11$

$p=11$, maka diperoleh nilai $q=18$

Dengan demikian hasil pembagian $f(x)$ oleh $x^{2}-2x+1$ adalah $x^{2}+2x-8$

Misalkan $a=\sqrt[3]{5}\Rightarrow a^{3}=5$

$b=\sqrt[3]{2}\Rightarrow b^{3}=2$

$\frac{3}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}=\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{(a-b)}=a^{2}+ab+b^{2}$

$\frac{3}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$

Gunakan metode Horner untuk mencari faktor-faktornya.
Untuk nol pembagi kita uji dari kelipatan $4$ diantaranya $\pm1,\pm2,\pm4$

$x^{3}-5x^{2}+8x-4=\left(x-1\right)\left(x^{2}-4x+4\right)=(x-1)(x-2)^{2}$

Jadi $\alpha=\beta=2$ dan $\gamma=1$

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya~$\beta-2$ dan $\gamma-2$

$*\,(\beta-2)+(\gamma-2)=(2-2)+(1-2)=-1$

$*\,(\beta-2).(\gamma-2)=(2-2)\cdot(1-2)=0$

Persamaan kuadrat baru :

$x^{2}-\mbox{(Jumlah Akar Baru)}+\mbox{Hasil kali akar baru }=0$

$x^{2}-x=0$

Dari soal yang diketahui dapat diperoleh :

$f(1)=-1$

$f(2)=-12$

$f(3)=31$

Pembagian $f(x)$ oleh $(x-1)(x-2)(x-3)$ misalkan sisanya $ax^{2}+bx+c$.

$F(x)=(x-1)(x-2)(x-3)H(x)+ax^{2}+bx+c$

$F(1)=(1-1)(1-2)(1-3)H(1)+a(1)^{2}+b(1)+c$

$-1=a+b+c…..\mbox{……(1)}$

$F(2)=(2-1)(2-2)(2-3)H(2)+a(2)^{2}+b(2)+c$

$-12=4a+2b+c\mbox{…..(2)}$

$F(3)=(3-1)(3-2)(3-3)H(3)+a(3)^{2}+b(3)+c$

$31=9a+3b+c\mbox{……..(3)}$

Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :

$-3a-b=11\mbox{………….(4)}$

Pers (1) dikurangkan dengan pers (3) , sehingga diperoleh :

$-8a-2b=-32\Rightarrow4a+b=16\mbox{…..(5)}$

Pers (4) dijumlahkan dengan pers (5), sehingga diperoleh :

$a=27$

$a=27\Rightarrow4(27)+b=16\Longleftrightarrow b=-92$

Substitusikan nila $a=27$, $b=-92$ ke pers (1) :

$a+b+c=-1$

$27-92+c=-1\Rightarrow c=64$

Jadi sisa pembagiannya adalah $27x^{2}-92x+64$.

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$

$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-4}{1}=-4$

Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Persamaan yang memiliki akar-akar $4\alpha,4\beta,$dan $4\gamma$ :

$4\alpha+4\beta+4\gamma=4\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$

$=4(-2)$

$=-8=-\frac{b}{a}$

$4\alpha\cdot4\beta+4\alpha\cdot4\gamma+4\beta\cdot4\gamma$$=16(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$

$4(3)=48$

$=12=\frac{c}{a}$

$4\alpha\cdot4\beta\cdot4\gamma=64(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)$

$=64(-4)$

$=-256=-\frac{d}{a}$

Jika nilai $a=1$, maka diperoleh $b=8$, $c=48$, $d=256$

Jadi persamaan suku banyak baru :

$x^{3}+8x^{2}+48x+256=0$

Dari pers $x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$ dapat diperoleh bahwa :

$\alpha+\beta+\gamma=3$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=2$

$\alpha\beta\gamma=1$

$\left(\alpha+1\right)^{2}\left(\beta+1\right)^{2}\left(\gamma+1\right)^{2}=\left\{ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\right\} ^{2}$

$=\left\{ \left(\alpha\beta\gamma\right)+\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\right)+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)+1\right\} ^{2}$

$=\left\{ 1+2+3+1\right\} ^{2}=49$

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-2)}{1}=2$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{4}{1}=4$

$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=-3$

Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Persamaan yang memiliki akar-akar $\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2},$ dan $\frac{\gamma}{2}$ :

$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$

$=\frac{1}{2}(2)$

$=1=-\frac{b}{a}$

$\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}\cdot\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{4}(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$

$=\frac{1}{4}(2)$

$=\frac{1}{2}=\frac{c}{a}$

$\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\beta}{2}\cdot\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{8}(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)$

$=-\frac{3}{8}=-\frac{d}{a}$

Jika nilai $a=1$, maka diperoleh $b=-1$, $c=\frac{1}{2}$, $d=\frac{3}{8}$

Jadi persamaan suku banyak baru :

$x^{3}-x^{2}+x+\frac{3}{8}=0$ (kalikan dengan 8)

$8x^{3}-8x^{2}+8x+3=0$.

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-5)}{2}=\frac{5}{2}$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{4}{2}=2$

$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-6}{2}=-3$

Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Persamaan yang memiliki akar-akar $2\alpha,\,2\beta,$ dan $2\gamma$ :

$2\alpha+2\beta+2\gamma=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$

$=2\cdot\frac{5}{2}=5$

$2\alpha\cdot2\beta+2\alpha\cdot2\gamma+2\beta\cdot2\gamma=4(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$

$=4(2)=8$

$2\alpha\cdot2\beta\cdot2\gamma=2(-3)$

$=-6$

Jika nilai $a=1$, maka persamaannya adalah :

$x^{3}-5x^{2}+8x+6=0$

$x^{3}+3x^{2}-2x-3=0$

$\alpha+\beta+\gamma=-3$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-2$

$\alpha\beta\gamma=3$

Misalkan Persamaan $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$= 0 memiliki akar-akar $\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},$ dan $\frac{1}{\gamma}$.

(i)$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma}=\frac{-2}{3}=\frac{-b}{a}$……(1)

(ii)$\frac{1}{\alpha}.\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}.\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\beta}.\frac{1}{\gamma}=\frac{c}{a}$

$\frac{\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)}{\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}}=\frac{(\alpha+\beta+\gamma)}{\alpha\beta\gamma}=\frac{-3}{3}=-1=\frac{c}{a}$

(iii) $\frac{1}{\alpha}.\frac{1}{\beta}.\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\alpha\beta\gamma}=\frac{1}{3}=\frac{-d}{a}$

Misalkan $a=1$, maka diperoleh $b=\frac{2}{3},$ $c=-1$ dan $d=-\frac{1}{3}$

Maka persamaan yang dimaksud adalah :

$x^{3}+\frac{2}{3}x^{2}-x-\frac{1}{3}=0$ (kedua ruas kalikan dengan 3)

$3x^{3}+2x^{2}-3x-1=0$