$x=3$ subsstitusikan ke $x^{3}+ax-6=0:$

$3^{3}+a(3)-6=0$

$27+3a-6=0\Rightarrow a=-7$

Nol fungsinya adalah $x=-1$

Karena habis dibagi berarti sisa pembagiannya adalah 0.

$f(-1)=0$

$f(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{3}+p(-1)+6=0$

$1+2-p+6\Rightarrow p=9$

Pembagian $f(y)=$ dengan $2x-y+6$ memberikan sisa $f(2x+6)$

$f(2x+6)$

$=6x^{2}-x(2x+6)-(2x+6)^{2}+4x+13(2x+6)-42$

$f(2x+6)=$

$6x^{2}-2x^{2}-6x-4x^{2}-24x-36+4x+26x+78-42$

$=0$

Sisa pembagian adalah $S=0$

$2x^{2}-8x+6\equiv2(x-1)(x+c)$

$2x^{2}-8x+6\equiv2\left\{ x^{2}-(1-c)x-c\right\} $

$x^{2}-4x+3\equiv\left\{ x^{2}-(1-c)x-c\right\} $

$c=-3$

Gunakan metode Horner.

Karena $f(x)$ habis dibagi, maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^{2}-2x+1=(x-1)(x-1)$ menghasilkan 0.

Dari bagan bisa diperoleh :

$-p+q=7$….(1)

$-2p+q=-4$…..(2)

Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :

$p=11$

$p=11$, maka diperoleh nilai $q=18$

Dengan demikian hasil pembagian $f(x)$ oleh $x^{2}-2x+1$ adalah $x^{2}+2x-8$

Misalkan $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+a$

$4$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka $f(x)$ akan sama dengan $0$ jika disubstitusikan dengan $x=4$

$f(4)=(4)^{3}-5(4)^{2}+2(4)+a=0$

$64-80+8+a=0\Rightarrow a=8$

Jadi $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8$.

Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ memiliki hasil kali $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$

Jadi hasil kali akar-akar dari $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8$ adalah $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{1}=-8$

Pecahan $\frac{x^{3}-x^{2}-x+a^{2}}{x^{2}-1}=\frac{x^{3}-x^{2}-x+a^{2}}{(x-1)(x+1)}$ dapat disederhanakan jika bagian pembilang habis dibagi $(x-1)$ atau $(x+1)$.

$f(x)=x^{3}-x^{2}-x+a^{2}$, habis dibagi dengan $x-1$ jika :

$f(1)=0$

$f(1)=1^{3}-1^{2}-1+a^{2}=0$

$a^{2}-1=0$

$(a+1)(a-1)=0$

$a=-1$ atau $a=1$

$f(x)=x^{3}-x^{2}-x+a^{2}$, habis dibagi dengan $x+1$ jika :

$f(-1)=0$

$f(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}-(-1)+a^{2}=0$

$a^{2}-1=0$

$(a+1)(a-1)=0$

$a=-1$ atau $a=1$

Jadi $\frac{x^{3}-x^{2}-x+a^{2}}{x^{2}-1}$ dapat disederhanakan jika nilai $a=1$ atau $-1$

$\frac{sin^{3}67,5-cos^{3}67,5}{sin67,5-cos67,5}$

$=\frac{\left(sin67,5-cos67,5\right)\left(sin^{2}67,5+sin67,5.cos67,5+cos^{2}67,5\right)}{sin67,5-cos67,5}$

$=sin^{2}67,5+sin67,5.cos67,5+cos^{2}67,5$

$=sin^{2}67,5+cos^{2}67,5+\frac{1}{2}.\left(2sin67,5.cos67,5\right)$

$=1+\frac{1}{2}.sin135=1+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}=1+\frac{\sqrt{2}}{4}$

Gunakan metode Horner untuk mencari faktor-faktornya.

Untuk nol pembagi kita uji dari kelipatan 4 diantaranya $\pm1,\pm2,\pm4$

$\begin{aligned} x^{3}-5x^{2}+8x-4 &=\left(x-1\right)\left(x^{2}-4x+4\right)\\
&=(x-1)(x-2)^{2}>0\\
\end{aligned}$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $1 < x < 2$ atau $x>2$

Pembagi merupakan faktor dari polinom. berarti jika polinom akan menghasilkan sisa 0.

$F(x)=P(x)H(x)+S(x).$

Misalkan $F(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-8$

$x^{3}+ax^{2}+bx-8=\left(x^{2}+3x+2\right)H(x)+0$

$x^{3}+ax^{2}+bx-8=\left(x+1\right)(x+2)H(x)+0$

$f(-1)=(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-8=0$

$-1+a-b-8=0$

$a-b=9$……(1)

$f(-2)=(-2)^{3}+a(-2)^{2}+b(-2)-8=0$

$-8+4a-2b-8=0$

$4a-2b=16\Rightarrow2a-b=8$…..(2)

Pers (2) dikurangkan dengan pers (1) sehingga diperoleh :

$a=-1$

$a=-1$ substitsikan ke pers (1) :

$a-b=9\Rightarrow-1-b=9\Longleftrightarrow b=-10$

Jadi nilai $a+b=-1-10=-11$

Jika $P(x)$ merupakan faktor dari $F(x)$ maka dapat ditulis :

$F(x)=P(x)H(x)$

$x-y+1=0\Rightarrow y=x+1$

Substitusikan $y=x+1$ ke dalam suku banyak sehingga menghasilkan $0$, maka :

$ax^{2}+b(x+1)+c(x+1)^{2}+5x-2(x+1)+3=0$

$\left(a+x+c\right)x^{2}$$+(b+2c+3)$$+b+c+1=0$

Dari pers diatas dapat diperoleh :

$a+c=0$…….(1)

$b+2c+3=0$…….(2)

$b+c+1=0$…….(3)

Dari pers diperoleh nilai $c=-1$

Substitusikan nilai $c=-1$ ke dan (2) sehingga diperoleh :

$b+2(-1)+3=0\Rightarrow b=-1$

Pers (2) dikurangi pers (3) diperoleh

$c+2=0$

$c=-2$

Subtitusikan $c=-2$ ke (2) diperoleh

$b+(-2)+1=0$

$b=1$

Substitusikan nilai $c=-1$ , $b=-1$ ke pers (1) sehingga diperoleh :

$a+(-1)+(-1)=0\Rightarrow a=2$

Jadi nilai $\frac{1}{\left(ab\right)^{c}}=\frac{1}{(2\cdot1)^{-2}}$$=\frac{1}{2^{-2}}$$=2^{2}=4$

Misalkan panjang rusuk kubus A adalah $x$ cm, maka panjang rusuk
B adalah $x-2$ cm.

Jumlah volume $=280$

$x^{3}+(x-2)^{3}=280$

$x^{3}+x^{3}-6x^{2}+12x-8-280=0$

$2x^{3}-6x^{2}+12x-288=0$

$x^{3}-3x^{2}+6x-144=0$

Faktor dari 144 salah satunya adalah x = $\pm6$

Gunakan metode Horner :

Jadi $x^{3}-3x^{2}+6x-144=(x-6)(x^{2}+3x+24)$

Panjang rusuk kubus $a=6$, berarti panjang rusuk $B=4$

Jadi jumlah panjang rusuk kedua kubus tersebut adalah $6+4=10$

$2sin^{3}x-(1-sin^{2}x)-2sinx=0$

$2sin^{3}x+sin^{2}x-2sinx-1=0$

Gunakan teori Horner :

$2sin^{3}x+sin^{2}x-2sinx-1=0$

$(sinx-1)(sinx+1)(2sinx+1)=0$

$sinx=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$

$sinx=-1\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pi$

$sinx=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{7}{6}\pi$ atau $\frac{11}{6}\pi$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{6}\pi,\frac{11}{6}\pi\}$

Gunakan metode Horner untuk mencari faktor-faktornya :

Berarti fungsi diatas dapat ditulis menjadi bentuk :

$4cos^{3}-4cos^{2}x-cosx+1=(cosx-1)(4cos^{2}x-1)$

$=(cosx-1)(2cosx-1)(2cosx+1)=0$

$cosx=1\Rightarrow x=0^{0}$

$2cosx=1\Rightarrow cosx=\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x=60^{0}$

$2cosx=-1\Rightarrow cosx=-\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x=120^{0}$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 0^{0},60^{0},120^{0}\right\} $

Misalkan rusuk rusuknya adalah $n$, $n+1$, dan $n+2$.

$V=n(n+1)(n+2)$

$60=n^{3}+3n^{2}+2n$

$n^{3}+3n^{2}+2n-60=0$

Gunakan metode Horner untuk mencari nilai $n$.

Faktor-faktor dari 60 diantaranya adalah $\pm1,\pm2,\pm3,\pm5$, dst..

$n^{3}+3n^{2}+2n-60=\left(n-3\right)\left(n^{2}+6n+18\right)$

Berarti nilai $n=3$.

Jadi rusuk terpanjang adalah $n+2=3+2=5$