Lingkaran $x^{2}+y^{2}=4,$ memiliki jari-jari $2$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan bergradien $m$ yaitu :

$y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$

$y=2\sqrt{2}x\pm2\sqrt{1+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$

$y=2\sqrt{2}x\pm2\sqrt{1+8}=2\sqrt{2}x\pm6$

$y=2\sqrt{2}x+6$ atau $y=2\sqrt{2}x-6$

Jadi persamaan garis singgung yang memenuhui option adalah $y=2\sqrt{2}x+6.$

$L:\left(x-4\right)^{2}+(y+2)^{2}=250$

Pusat $(a,b)=(4,-2)$ dan $r=\sqrt{250}$

Persamaan garis singgun lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan bergradien $m$:

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}$

$y+2=3(x-4)\pm\sqrt{250}\cdot\sqrt{1+3^{2}}$

$y+2=3(x-4)$$\pm\sqrt{2500}=3(x-4)\pm50$

$y+2=3x-12\pm50$

$y=3x-14\pm50$

$y=3x-14+50$ atau $y=3x-14-50$

$y=3x+26$ atau $y=3x-64$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=3x+26$ atau $y=3x-64.$

$x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ memiliki $P(1,-2)$ dan $r=\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}-(-4)}$$=\sqrt{9}=3$

Persamaan garis singgungnya :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+2=2\left(x-1\right)\pm3\sqrt{2^{2}+1}$

$y+2=2x-2\pm3\sqrt{5}$

$2x-y-4\pm3\sqrt{5}=0$

Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}.(-4),-\frac{1}{2}\cdot(6)\right)$$=\left(2,-3\right)$

Jari-jari = $\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}-(-55)}$$=\sqrt{4+9+55}$$=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Persamaan garis singgun lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan bergradien $m$:

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}$

$y+3=4(x-2)$$\pm2\sqrt{17}\cdot\sqrt{1+4^{2}}$$=4x-8\pm34$

$y=4x-11\pm34$

$y=4x-11+34$ atau $y=4x-11-34$

$y=4x+23$ atau $y=4x-45$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $:\, y=4x+23$ atau $y=4x-45.$

$\left(x-2\right)^{2}+(y-3)^{2}=25$ mempunyai $P(2,3)$ dan $r=5$

Gradien garis dari garis PA adalah $m_{1}=\frac{2-3}{4-2}=-\frac{1}{2}$

Gradien tali busur misalkan $m_{2}$.

Garis PA dan garis tali busur saling tegak lurus,sehingga :

$-\frac{1}{2}\cdot m_{2}=-1$$\rightarrow m_{2}=2$

Persamaan tali busur $y=2x+c$

Melalui titik $(4,2)\rightarrow2=2(4)+c$$\rightarrow c=-6$

Jadi persamaan tali busurnya adalah $y=2x-6.$

$x^{2}+y^{2}=10$, berpusat di $(0,0)$ dan $r=\sqrt{10}$

Gradien garis $y+3x=5$ adalah $m=-3$

Karena sejajar sejaris $y+3x=5$, maka gradien garis singgung sama dengan gradien garis $y+3x=5$ yaitu $-3$

Persamaan garis singgungnya :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y=-3x\pm\sqrt{10}\cdot\sqrt{(-3)^{2}+1}$$=-3x\pm\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}$

$y=-3x\pm10$

$y=-3x+10$ atau $y=-3x-10$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=-3x+10$ atau $y=-3x-10.$

$x^{2}+y^{2}=16,$ berpusat $(0,0)$ dan $r=4$

Gradien garis $3x+4y+2=0$ adalah $-\frac{3}{4}$

Karena sejajar, maka gradien garis singgungnya adalah $-\frac{3}{4}$

Persamaan garis singgungya adalah :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{4}x\pm4\sqrt{(-\frac{3}{4})^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{4}x\pm4\sqrt{\frac{25}{16}}$

$y=-\frac{3}{4}x\pm5$

$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25$, berpusat $P(1,-3)$ dan $r=5$

Gradien garis $5x+12y+10=0$ adalah $m_{1}=-\frac{5}{12}$

Gradien garis singgung $m_{2}$

Karena garis singgung tegak lurus dengan garis $5x+12y+10=0$, maka $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$-\frac{5}{12}.m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=\frac{12}{5}$

Persamaan garis singgung :

$y+3=\frac{12}{5}(x-1)\pm5\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}+1}$

$5y+15=12x-12\pm5\sqrt{\frac{169}{25}}$

$5y+15=12x-12\pm13$

$(+)\rightarrow12x-5y-14=0$

$(-)\rightarrow12x-5y-40=0$

Pusat lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x-4y+2=0$ adalah $(1,2)$

Gradien garis $2x-y+3=0$ adalah $m_{1}=2$

Gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $2x-y+3=0$ adalah $m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{2}$

Persamaaan garis singgung di titik (1, 2) :

$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$

$-2y+4=x-1$

$x+2y-5=0$

$L:x^{2}+y^{2}+6x-2y-10=0$

Pusat $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}\cdot(6),-\frac{1}{2}\cdot(-2)\right)$$=\left(-3,1\right)$

$r=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+1^{2}-(-10)}$$=\sqrt{9+1+10}=\sqrt{20}$

Graiden garis $y=2x+9$ adalah $m=2$

Gradien garis singgung akan sama dengan gradien garis $y=2x+9$ yaitu $m=2$ karena sejajar

Persamaan garis singgung :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y-1=2(x+3)\pm\sqrt{20}\cdot\sqrt{2^{2}+1}$$=2(x+3)\pm\sqrt{100}$

$y-1=2x+6\pm10$

$y=2x+7\pm10$

$y=2x+7+10$ atau $y=2x+7-10$

$y=2x+17$ atau $y=2x-3$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=2x+17$ atau $y=2x-3.$

Gradien garis dari titik $P(4,3)$ dan $M(2,2)$ adalah $m_{1}\cdot\frac{2-3}{2-4}=\frac{1}{2}$

Misalkan $m_{2}$ gradien garis QR

Garis PM tegak lurus dengan garis QR sehingga

$m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$\frac{1}{2}\cdot m_{2}=-1$$\rightarrow m_{2}=-2$

Garis QR adalah $y=-2x+c$

Substitusikan titik $(2,2)$ ke $y=-2x+c$

$(2,2)$$\rightarrow2=-4+c$$\rightarrow c=6$

Jadi persamaan garis QR adalah $y=-2x+6.$

Gradien garis singgung = $m=\tan\alpha=\tan\,120^{0}=-\sqrt{3}$

Pusat lingkaran = $\left(\frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2}\right)=\left(4,2\right)$

Jari-jari = jarak dari pusat ke titik $(1,-2)$ atau ke titik $(7,6)$

$\begin{aligned}r & =\sqrt{\left(4-1\right)^{2}+\left(2-(-2)\right)^{2}}\\
& =\sqrt{9+16}\\
& =\sqrt{25}\\
& =5
\end{aligned}
$

Persamaan garis singgung :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y-2=-\sqrt{3}(x-4)\pm5\cdot\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}+1}$ $=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+5\cdot\sqrt{4}$$=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+10$

$y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12$

$L:x^{2}+y^{2}-8x+4y-20=0$

Pusat = $\left(-\frac{1}{2}\cdot(-8),\,-\frac{1}{2}\cdot4\right)=(4,-2)$

$\begin{aligned}r & =\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}-(-20)}\\
& =\sqrt{16+4+20}\\
& =\sqrt{40}
\end{aligned}
$

Gradien garis singgung $2x+6y=5$ adalah $m_{1}=-\frac{1}{3}$

Misalkan gradien garis singgung adalah $m_{2}$. Karena tegak lurus, maka $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+2=3(x-4)\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$$=3x-12\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{10}$

$y+2=3x-12\pm20$

$y=3x-14\pm20$

$y=3x-14+20$ atau $y=3x-14-20$

$y=3x+6$ atau $y=3x-34$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=3x+6$ atau $y=3x-34.$

Misalkan $m_{2}$ gadien garis yang menyinggung lingkaran $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=40$.

Lingkaran memiliki pusat $(4,3)$ dan $r=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Gradien garis $x+3y+5=0$ adalah $-\frac{1}{3}$

$m_{2}\cdot-\frac{1}{3}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y-3=3(x-4)\pm2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$

$y-3=3x-12\pm20$

$(+)\rightarrow y=3x-12+3+20$$\rightarrow y=3x+11$

$(-)\rightarrow y=3x-12+3-20$$\rightarrow y=3x-29$

$x^{2}+y^{2}=$13

Pusatnya $(0,0)$ dan jari-jari = $\sqrt{13}$

Persamaan garis singgung dengan pusat $(0,0)$ adalah :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Substitusikan titi (1,5) ke pers garis singgung :

$5=m\pm\sqrt{13}\cdot\sqrt{m^{2}+1}$

$5-m=\pm\sqrt{13m^{2}+13}$ (kuadratkan kedua ruas) :

$\left(5-m\right)^{2}=13m^{2}+13$

$m^{2}-10m+25=13m^{2}+13$

$12m^{2}+10m-12=0$

$6m^{2}+5m-6=0$

$\left(2m+3\right)(3m-2)=0$

$m=-\frac{3}{2}$ atau $m=\frac{2}{3}$

Untuk memastikan positif atau negatinya

Ketika kita subtitusikan ke 5 – m ternyata keduanya positif.

Kita akan pakai yang positif saja

Substitusikan nilai m ke pers garis singgung.

$*$ Untuk $m=-\frac{3}{2}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{4}}=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$

$2y=-3x+13$$\rightarrow2y+3x-13=0$

$*$ Untuk $m=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$

$3y=2x+13$$\rightarrow3y-2x-13=0$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $2y+3x-13=0$ dan $3y-2x-13=0.$