Persamaan garis singgung lingkaran menyinggung suatu titik merupakan salah satu materi matematika yang cukup menarik untuk dibahas. Kalau kebetulan kamu ingin belajar tentang materi ini lebih dalam, simak penjelasan lengkapnya berikut. Kami juga telah menyediakan soal latihan yang bisa dikerjakan untuk mengasah kemampuanmu.
Di sini, kamu akan belajar tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik melalui video yang dibawakan oleh Bapak Anton Wardaya. Kamu akan diajak untuk memahami materi hingga metode menyelesaikan soal.
Kamu juga akan memperoleh latihan soal interaktif dalam 3 tingkat kesulitan (mudah, sedang, sukar). Dengan begitu, kamu bisa langsung mempraktikkan materi yang telah dijelaskan.
Sekarang, kamu bisa mulai belajar dengan 4 video dan 3 set latihan soal yang ada di halaman ini. Apabila materi ini berguna, bagikan ke teman atau rekan kamu supaya mereka juga mendapatkan manfaatnya.
Kamu dapat download modul & contoh soal serta kumpulan latihan soal lengkap dalam bentuk pdf pada list dibawah ini:
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik (1)
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik (2)
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Titik (1)
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Titik (2)
Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik (Mudah)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=8$ di titik $(-2,-2)$ adalah…
BetulPersamaan garis singgung yang titik pusatnya (0,0) di $\left(x_{1},y_{1}\right)$adalah :
$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Jadi persamaan garis singgungya $-2x-2y=8$$\rightarrow x+y+4=0.$
SalahPersamaan garis singgung yang titik pusatnya (0,0) di $\left(x_{1},y_{1}\right)$adalah :
$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Jadi persamaan garis singgungya $-2x-2y=8$$\rightarrow x+y+4=0.$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Persamaan garis singgung melalui titik (2,3) pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=13$ adalah…
BetulPersamaan garis singgung yang titik pusatnya $(0,0)$ di $\left(x_{1},y_{1}\right)$ adalah :
$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,3):$
$2x+3y=13$
SalahPersamaan garis singgung yang titik pusatnya $(0,0)$ di $\left(x_{1},y_{1}\right)$ adalah :
$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$
Persamaan garis singgung di titik $(2,3):$
$2x+3y=13$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x-6y-7=0$ di titik yang berabsis $5$ adalah…
BetulSubstitusikan titik $x=5$ ke $x^{2}+y^{2}-2x-6y-7=0:$
$(5)^{2}+y^{2}-2(5)-6y-7=0$
$y^{2}-6y+8=0$
$\left(y-4\right)(y-2)=0$
Jadi titik singgungnya $(5,4)$ dan $(5,2)$
Bentuk lain dari $x^{2}+y^{2}-2x-6y-7=0$ adalah $\left(x-1\right)^{2}+(y-3)^{2}=17$
* Persamaan garis singgung di titik $(5,4):$
$(5-1)(x-1)+(4-3)(y-3)=17$
$4x-4+y-3-17=0$
$4x+y-24=0$
* Persamaan garis singgung di (5,2)
$(5-1)(x-1)+(2-3)(y-3)=17$
$4x-4-y+3-17=0$
$4x-y-18=0$
Yang memenuhi dengan option adalah $4x+y-18=0.$
SalahSubstitusikan titik $x=5$ ke $x^{2}+y^{2}-2x-6y-7=0:$
$(5)^{2}+y^{2}-2(5)-6y-7=0$
$y^{2}-6y+8=0$
$\left(y-4\right)(y-2)=0$
Jadi titik singgungnya $(5,4)$ dan $(5,2)$
Bentuk lain dari $x^{2}+y^{2}-2x-6y-7=0$ adalah $\left(x-1\right)^{2}+(y-3)^{2}=17$
* Persamaan garis singgung di titik $(5,4):$
$(5-1)(x-1)+(4-3)(y-3)=17$
$4x-4+y-3-17=0$
$4x+y-24=0$
* Persamaan garis singgung di (5,2)
$(5-1)(x-1)+(2-3)(y-3)=17$
$4x-4-y+3-17=0$
$4x-y-18=0$
Yang memenuhi dengan option adalah $4x+y-18=0.$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika $y=mx+5$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-6y+15=0$ nilai $m$ adalah…
BetulSubstitusikan $y=mx+5$ ke lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-6y+15=0$
$x^{2}+(mx+5)^{2}+8x-6(mx+5)+15=0$
$x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25+8x-6mx-30+15=0$
$\left(1+m^{2}\right)x^{2}+(4m+8)x+10=0$
Karena menyingguna, maka $D=0$
$\left[4(m+2)\right]^{2}-4(1+m^{2})\cdot(10)=0$
$16(m^{2}+4m+4)-40m^{2}-40=0$
$2(m^{2}+4m+4)-5m^{2}-5=0$
$2m^{2}+8m+8-5m^{2}-5=0$
$3m^{2}+8m+3=0$
$\rightarrow3m^{2}-8m-3=0$
$(3m+1)(m-3)=m=-\frac{1}{3},3.$
SalahSubstitusikan $y=mx+5$ ke lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-6y+15=0$
$x^{2}+(mx+5)^{2}+8x-6(mx+5)+15=0$
$x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25+8x-6mx-30+15=0$
$\left(1+m^{2}\right)x^{2}+(4m+8)x+10=0$
Karena menyingguna, maka $D=0$
$\left[4(m+2)\right]^{2}-4(1+m^{2})\cdot(10)=0$
$16(m^{2}+4m+4)-40m^{2}-40=0$
$2(m^{2}+4m+4)-5m^{2}-5=0$
$2m^{2}+8m+8-5m^{2}-5=0$
$3m^{2}+8m+3=0$
$\rightarrow3m^{2}-8m-3=0$
$(3m+1)(m-3)=m=-\frac{1}{3},3.$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=45$ di titik $(4,1)$ adalah…
Betul$(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=45,$ berpusat di $(-2,4)$ dan $r=\sqrt{45}$
Persamaan garis singgung di titik $(4,1):$
$(4+2)(x+2)+(1-4)(y-4)=45$
$6x+12-3y+12-45=0$
$6x-3y-21=0$
$2x-y-7=0$
Salah$(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=45,$ berpusat di $(-2,4)$ dan $r=\sqrt{45}$
Persamaan garis singgung di titik $(4,1):$
$(4+2)(x+2)+(1-4)(y-4)=45$
$6x+12-3y+12-45=0$
$6x-3y-21=0$
$2x-y-7=0$
Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik (Sedang)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax=21$ melalui $A(-2,3)$. Persamaan garis singgung di titik A adalah…
BetulSubstitusikan $A(-2,3)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax=21$
$(-2,3)$$\rightarrow4+9-2a=21$$\Longleftrightarrow a=-4$
Persamaan lingkaran diatas adalah $x^{2}+y^{2}-4x-21=0$, berpusat di $P(2,0)$ dan $r=\sqrt{(-4)^{2}+0-(-21)}$$=\sqrt{37}$
Persamaan garis singgung di titik $A(-2,3)$ adalah :
$\left(-2-2\right)(x-2)+(3-0)(y-0)=37$
$-4x+8+3y-37=0$
$-4x+3y=29$
SalahSubstitusikan $A(-2,3)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax=21$
$(-2,3)$$\rightarrow4+9-2a=21$$\Longleftrightarrow a=-4$
Persamaan lingkaran diatas adalah $x^{2}+y^{2}-4x-21=0$, berpusat di $P(2,0)$ dan $r=\sqrt{(-4)^{2}+0-(-21)}$$=\sqrt{37}$
Persamaan garis singgung di titik $A(-2,3)$ adalah :
$\left(-2-2\right)(x-2)+(3-0)(y-0)=37$
$-4x+8+3y-37=0$
$-4x+3y=29$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Persamaan garis singgung dari titik $A(1,-1)$ yang dibuat pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-6y-4=0$
adalah…Betul$x^{2}+y^{2}-4x-6y-4=0$ atau $\left(x-2\right)^{2}+(y-3)^{2}=17$
$A(1,-1)$$\rightarrow(1)^{2}+(-1)^{2}-4(1)-6(-1)-4=0$
Berarti titik $A(1,-1)$ berada pada lingkaran
Jadi persamaan garis singgungnya di titik $A(1,-1)$ adalah :
$\left(1-2\right)(x-2)+(-1-3)(y-3)=17$
$-x+2-4y+12-17=0$
$-x-4y-3=0$$\rightarrow x+4y+3=0.$
Salah$x^{2}+y^{2}-4x-6y-4=0$ atau $\left(x-2\right)^{2}+(y-3)^{2}=17$
$A(1,-1)$$\rightarrow(1)^{2}+(-1)^{2}-4(1)-6(-1)-4=0$
Berarti titik $A(1,-1)$ berada pada lingkaran
Jadi persamaan garis singgungnya di titik $A(1,-1)$ adalah :
$\left(1-2\right)(x-2)+(-1-3)(y-3)=17$
$-x+2-4y+12-17=0$
$-x-4y-3=0$$\rightarrow x+4y+3=0.$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Persamaan lingkaran yang melalui $(0,1),(4,3)$ dan titik pusatnya terletak pada $4x-5y=-2$ adalah…
BetulMelalui $(0,1)$$\rightarrow a^{2}+\left(1-b\right)^{2}=r^{2}$ …..(1)
Melalui $(4,3)$$\rightarrow(4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}$ ….(2)
Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :
$a^{2}-(4-a)^{2}+(1-b)^{2}-(3-b)^{2}=0$
$a^{2}-(16-8a+a^{2})+(1-2b+b^{2})$$-(9-6b+b^{2})=0$
$8a-16+4b-8=0$
$8a+4b=24$$\rightarrow2a+b=6$$\Longleftrightarrow b=6-2a$ ….(3)
Titik pusat terletk pada garis $4x-5y=5$, sehingga $4a-5b=-2$ ….(4)
Substitusikan pers (3) ke pers (4) sehingga diperoleh :
$4a-5(6-2a)=-2$
$4a-30+10a+2=0$
$14a-28=0\rightarrow a=2$
$a=2,$ maka $b=2$
Substitusikan nilai $a=b=2$ ke pers (1) sehingga diperoleh :
$2^{2}+(1-2)^{2}=5=r^{2}$
Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=5$ atau $x^{2}+y^{2}-4x-4y+3=0.$
SalahMelalui $(0,1)$$\rightarrow a^{2}+\left(1-b\right)^{2}=r^{2}$ …..(1)
Melalui $(4,3)$$\rightarrow(4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}$ ….(2)
Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :
$a^{2}-(4-a)^{2}+(1-b)^{2}-(3-b)^{2}=0$
$a^{2}-(16-8a+a^{2})+(1-2b+b^{2})$$-(9-6b+b^{2})=0$
$8a-16+4b-8=0$
$8a+4b=24$$\rightarrow2a+b=6$$\Longleftrightarrow b=6-2a$ ….(3)
Titik pusat terletk pada garis $4x-5y=5$, sehingga $4a-5b=-2$ ….(4)
Substitusikan pers (3) ke pers (4) sehingga diperoleh :
$4a-5(6-2a)=-2$
$4a-30+10a+2=0$
$14a-28=0\rightarrow a=2$
$a=2,$ maka $b=2$
Substitusikan nilai $a=b=2$ ke pers (1) sehingga diperoleh :
$2^{2}+(1-2)^{2}=5=r^{2}$
Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=5$ atau $x^{2}+y^{2}-4x-4y+3=0.$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Persamaan garis singgung lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-x+5y-8=0$ di titik yang berabsis $1$ adalah…
Betul$2x^{2}+2y^{2}-x+5y-8=0$$\rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y-4=0$
Lingkaran ini berpusat di $\left(\frac{1}{4},-\frac{5}{4}\right)$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{25}{16}+4}$$=\sqrt{\frac{90}{16}}=\sqrt{\frac{45}{8}}$
Substitusikan $x=1$ ke pers lingkaran sehingga :
$x=1$$\rightarrow2+2y^{2}-1+5y-8=0$$\Longleftrightarrow2y^{2}+5y-7=0$
$\left(2y+7\right)(y-1)=0$
$y=1$ atau $y=-\frac{7}{2}$
Titik titiknya adalah $(1,1)$ dan $(1,-\frac{7}{2})$
Persamaan garis singgung :
* Di titik $(1,1):$
$(1-\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})+(1+\frac{5}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$
$(\frac{3}{4})(x-\frac{1}{4})+(\frac{9}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$ (kedua ruas kalikan dengan 16)
$12x+36y-48=0$$\rightarrow x+3y-4=0$
* Di titik $(1,-\frac{7}{2})$
$(1-\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})+(-\frac{7}{2}+\frac{5}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$
$(\frac{3}{4})(x-\frac{1}{4})+(-\frac{9}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$ (kedua ruas kalikan 16)
$12x-36y-138=0$
Yang memeneuhi dengan option adalah $x+3y-4=0.$
Salah$2x^{2}+2y^{2}-x+5y-8=0$$\rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y-4=0$
Lingkaran ini berpusat di $\left(\frac{1}{4},-\frac{5}{4}\right)$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{25}{16}+4}$$=\sqrt{\frac{90}{16}}=\sqrt{\frac{45}{8}}$
Substitusikan $x=1$ ke pers lingkaran sehingga :
$x=1$$\rightarrow2+2y^{2}-1+5y-8=0$$\Longleftrightarrow2y^{2}+5y-7=0$
$\left(2y+7\right)(y-1)=0$
$y=1$ atau $y=-\frac{7}{2}$
Titik titiknya adalah $(1,1)$ dan $(1,-\frac{7}{2})$
Persamaan garis singgung :
* Di titik $(1,1):$
$(1-\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})+(1+\frac{5}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$
$(\frac{3}{4})(x-\frac{1}{4})+(\frac{9}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$ (kedua ruas kalikan dengan 16)
$12x+36y-48=0$$\rightarrow x+3y-4=0$
* Di titik $(1,-\frac{7}{2})$
$(1-\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})+(-\frac{7}{2}+\frac{5}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$
$(\frac{3}{4})(x-\frac{1}{4})+(-\frac{9}{4})(y+\frac{5}{4})=\frac{45}{8}$ (kedua ruas kalikan 16)
$12x-36y-138=0$
Yang memeneuhi dengan option adalah $x+3y-4=0.$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Lingkaran dengan pusat $(8,6)$ berjari-jari $10$ memotong sumbu $y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran di titik $P$ adalah…
BetulPersamaan lingkarannya adalah $\left(x-8\right)^{2}+(y-6)^{2}=100$
Memotong sumbu $y$, jika $x=0$
$(0-8)^{2}+\left(y-6\right)^{2}=100$
$\left(y-6\right)^{2}=36$
$y-6=\pm6$
$y=12$ atau $y=0$
$P_{1}(0,0)$ atau $P_{2}(0,12)$
Persamaan garis singgung di titik $(0,12)$ adalah :
$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$
$(0-8)(x-8)+(12-6)(y-6)=100$
$-8x+64+6y-36-100=0$
$-8x+6y=72$
$y=\frac{4}{3}x+12$
Jadi persamaan garis singungnya adalah $y=\frac{4}{3}x+12.$
SalahPersamaan lingkarannya adalah $\left(x-8\right)^{2}+(y-6)^{2}=100$
Memotong sumbu $y$, jika $x=0$
$(0-8)^{2}+\left(y-6\right)^{2}=100$
$\left(y-6\right)^{2}=36$
$y-6=\pm6$
$y=12$ atau $y=0$
$P_{1}(0,0)$ atau $P_{2}(0,12)$
Persamaan garis singgung di titik $(0,12)$ adalah :
$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$
$(0-8)(x-8)+(12-6)(y-6)=100$
$-8x+64+6y-36-100=0$
$-8x+6y=72$
$y=\frac{4}{3}x+12$
Jadi persamaan garis singungnya adalah $y=\frac{4}{3}x+12.$
Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik (Sukar)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Persamaan lingkaran yang melalui $(1,4)$ dan $(1,-2)$ serta menyinggung $3x+y+3=0$ adalah…
BetulPersamaan lingkarannya misalkan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$(1,4)$$\rightarrow1+16+A+4B+C=0$$\Longleftrightarrow A+4B+C=-17$ ….(1)
$(1,-2)$$\rightarrow1+4+A-2B+C=0$$\Longleftrightarrow A-2B+C=-5$….(2)
Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :
$6B=-12\rightarrow B=-2$
Substitusikan $B=-2$ ke pers (1) dan (2) sehingga diperoleh :
$A-8+C=-17$$\rightarrow A-C=-9$…..(3)
$A+4+C=-5$$\rightarrow A+C=-9$…..(4)
Pers (3) + pers (4) :
$2A=-18$$\rightarrow A=-9,$ dan $C=0$
Jadi persamaan lingkarannya adalah $x^{2}+y^{2}-9x-2y=0.$
SalahPersamaan lingkarannya misalkan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
$(1,4)$$\rightarrow1+16+A+4B+C=0$$\Longleftrightarrow A+4B+C=-17$ ….(1)
$(1,-2)$$\rightarrow1+4+A-2B+C=0$$\Longleftrightarrow A-2B+C=-5$….(2)
Pers (1) dikurangkan dengan pers (2) sehingga diperoleh :
$6B=-12\rightarrow B=-2$
Substitusikan $B=-2$ ke pers (1) dan (2) sehingga diperoleh :
$A-8+C=-17$$\rightarrow A-C=-9$…..(3)
$A+4+C=-5$$\rightarrow A+C=-9$…..(4)
Pers (3) + pers (4) :
$2A=-18$$\rightarrow A=-9,$ dan $C=0$
Jadi persamaan lingkarannya adalah $x^{2}+y^{2}-9x-2y=0.$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y-1=0$ di titik $(1,2)$ dan juga menyinggung lingkaran lain yang berpusat di $(4,3)$ persamaan lingkaran tersebut adalah…
Betul$x^{2}+y^{2}-2y-1=0,$ berpusat di $P(0,1)$ dan $r=\sqrt{0^{2}+1^{2}-(-1)}$$=\sqrt{2}$
Persamaan lingkaran dapat diubah menjadi $x^{2}+(y-1)^{2}=2$
Garis singgungnya di titik $(1,2)$ adalah :
$(1-0)(x-0)+(2-1)(y-1)=2$
$x+y-1-2=0$$\rightarrow x+y-3=0$
Jarak dari titik pusat (4,3) ke garis singgung $x+y-3=0$ disebut jari-jari lingkaran
$\begin{aligned}r & =\left|\frac{x+y-3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|\\
& =\left|\frac{4+3-3}{\sqrt{2}}\right|\\
& =\left|\frac{4}{\sqrt{2}}\right|\\
& =2\sqrt{2}\\
& =\sqrt{8}
\end{aligned}
$Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=\left(\sqrt{8}\right)^{2}$ atau $x^{2}+y^{2}-8x-6y+17=0.$
Salah$x^{2}+y^{2}-2y-1=0,$ berpusat di $P(0,1)$ dan $r=\sqrt{0^{2}+1^{2}-(-1)}$$=\sqrt{2}$
Persamaan lingkaran dapat diubah menjadi $x^{2}+(y-1)^{2}=2$
Garis singgungnya di titik $(1,2)$ adalah :
$(1-0)(x-0)+(2-1)(y-1)=2$
$x+y-1-2=0$$\rightarrow x+y-3=0$
Jarak dari titik pusat (4,3) ke garis singgung $x+y-3=0$ disebut jari-jari lingkaran
$\begin{aligned}r & =\left|\frac{x+y-3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|\\
& =\left|\frac{4+3-3}{\sqrt{2}}\right|\\
& =\left|\frac{4}{\sqrt{2}}\right|\\
& =2\sqrt{2}\\
& =\sqrt{8}
\end{aligned}
$Jadi persamaan lingkarannya adalah $(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=\left(\sqrt{8}\right)^{2}$ atau $x^{2}+y^{2}-8x-6y+17=0.$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$ yang melalui titik $(-4,3)$ adalah…
BetulMisalkan garis singgung menyinggung lingkaran di titik $(p,q),$ maka $px+qy=5$ dan $p^{2}+q^{2}=5$
Melalui titik $(-4,3)$$\rightarrow-4p+3q=5$$\rightarrow q=\frac{1}{3}(4p+5)$ substitusikan ke pers lingkaran, sehingga :
$p^{2}+q^{2}=5$
$p^{2}+\left(\frac{1}{3}(4p+5)\right)^{2}=5$
$p^{2}+\frac{16p^{2}+40p+25}{9}-5=0$
$9p^{2}+16p^{2}+40p+25-45=0$
$25p^{2}+40p-20=0$
$5p^{2}+8p-4=0$
$\left(5p-2\right)\left(p+2\right)=0$
$p=\frac{2}{5},$ maka $q=\frac{11}{5}$
$p=-2,$ maka $q=-1$
Jadi persamaan garis singgungnya adalah $\frac{2}{5}x+\frac{11}{5}y=5$ dan $-2x-y=5.$
SalahMisalkan garis singgung menyinggung lingkaran di titik $(p,q),$ maka $px+qy=5$ dan $p^{2}+q^{2}=5$
Melalui titik $(-4,3)$$\rightarrow-4p+3q=5$$\rightarrow q=\frac{1}{3}(4p+5)$ substitusikan ke pers lingkaran, sehingga :
$p^{2}+q^{2}=5$
$p^{2}+\left(\frac{1}{3}(4p+5)\right)^{2}=5$
$p^{2}+\frac{16p^{2}+40p+25}{9}-5=0$
$9p^{2}+16p^{2}+40p+25-45=0$
$25p^{2}+40p-20=0$
$5p^{2}+8p-4=0$
$\left(5p-2\right)\left(p+2\right)=0$
$p=\frac{2}{5},$ maka $q=\frac{11}{5}$
$p=-2,$ maka $q=-1$
Jadi persamaan garis singgungnya adalah $\frac{2}{5}x+\frac{11}{5}y=5$ dan $-2x-y=5.$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Diketahui lingkaran dengan pusat $(4,3)$ dan titik tengah tali busur PQ lingkaran tersebut adalah $M(2,2)$, persamaan garis QR adalah…
BetulGradien garis dari titik $P(4,3)$ dan $M(2,2)$ adalah $m_{1}=\frac{2-3}{2-4}=\frac{1}{2}$
Misalkan $m_{2}$ gradien garis QR
Garis PM tegak lurus dengan garis QR sehingga
$m_{1}\cdot m_{2}=-1$
$\frac{1}{2}\cdot m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=-2$
Garis QR adalah $y=-2x+c$
Substitusikan titik $(2,2)$ ke $y=-2x+c$
$(2,2)$$\rightarrow2=-4+c$$\rightarrow c=6$
Jadi persamaan garis QR adalah $y=-2x+6.$
SalahGradien garis dari titik $P(4,3)$ dan $M(2,2)$ adalah $m_{1}=\frac{2-3}{2-4}=\frac{1}{2}$
Misalkan $m_{2}$ gradien garis QR
Garis PM tegak lurus dengan garis QR sehingga
$m_{1}\cdot m_{2}=-1$
$\frac{1}{2}\cdot m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=-2$
Garis QR adalah $y=-2x+c$
Substitusikan titik $(2,2)$ ke $y=-2x+c$
$(2,2)$$\rightarrow2=-4+c$$\rightarrow c=6$
Jadi persamaan garis QR adalah $y=-2x+6.$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Garis singgung di titik $(12,-5)$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=169$ menyinggung lingkaran $(x-5)^{2}+(y-12)^{2}=p$, maka nilai p adalah…
BetulPersamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=169$ pusatnya $(0,0)$, jari-jari = $13$ dan melalui titik $(12,-5)$ adalah $12x-5y-169=0$
Persamaan $(x-5)^{2}+(y-12)^{2}=p$ memiliki P(5,12) dan jari-jari = $\sqrt{p}$
Jarak dari titik pusat $(5,12)$ ke garis singgung $12x-5y-169=0$ adalah jari-jari lingkaran $(x-5)^{2}+(y-12)^{2}=p$
$\begin{aligned}r & =\sqrt{p}\\
& =\left|\frac{12x-5y-169}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\right|\\
& =\left|\frac{12(5)-5(12)-169}{13}\right|\\
& =\left|\frac{-169}{13}\right|\\
& =13
\end{aligned}
$$\sqrt{p}=13\rightarrow p=169.$
SalahPersamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=169$ pusatnya $(0,0)$, jari-jari = $13$ dan melalui titik $(12,-5)$ adalah $12x-5y-169=0$
Persamaan $(x-5)^{2}+(y-12)^{2}=p$ memiliki P(5,12) dan jari-jari = $\sqrt{p}$
Jarak dari titik pusat $(5,12)$ ke garis singgung $12x-5y-169=0$ adalah jari-jari lingkaran $(x-5)^{2}+(y-12)^{2}=p$
$\begin{aligned}r & =\sqrt{p}\\
& =\left|\frac{12x-5y-169}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\right|\\
& =\left|\frac{12(5)-5(12)-169}{13}\right|\\
& =\left|\frac{-169}{13}\right|\\
& =13
\end{aligned}
$$\sqrt{p}=13\rightarrow p=169.$