$3x^{2}+3y^{2}=9\rightarrow x^{2}+y^{2}=3$

Substitusikan titik $(-4,-3)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}=3$

$\left(-4\right)^{2}+\left(-3\right)^{2}=16+9=25>3$

Titik $(a,b)$ terletak diluar lingkaran, jika $a^{2}+b^{2}>r^{2}$

Jadi titik $(-4,-3)$ terhadap lingkaran $3x^{2}+3y^{2}=9$ berada diluar lingkaran.

Titik $(h,k)$ terletak diluar Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2}>r^{2}$

Substitusikan nilai $(2,a)$ ke pers lingkaran $\left(x+1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=10$

$\left(2+1\right)^{2}+\left(a-3\right)^{2}>10$

$9+a^{2}-6a+9-10>0$

$a^{2}-6a+8>0$

$\left(a-4\right)(a-2)>0$

$a<2$ atau $a>4$

Jadi nilai titik $(2,a)$ terletak diluar lingkaran $\left(x+1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=10$ untuk $a<2$ atau $a>4.$

Substitusikan titik $(9,0)$ ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=36$ agar mengetahui lingkaran berada di dalam atau diluar lingkaran.

$\left(9,0\right)\rightarrow9^{2}+0^{2}=81>36$

Berarti titik tersebut berada diluar lingkaran

Misalkan pers garis singgung melalui titik $(9,0)$ dengan Pusat lingkaran $(0,0)$

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

$9x=36\rightarrow x=4$

Substituikan nilai $x=4$ ke pers lingkaran :

$4^{2}+y^{2}=36$

$y^{2}=36-16=20$

$y=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt{5}$

Berarti koordinatnya adalah $(4,2\sqrt{5})$ dan $(4,-2\sqrt{5})$

Untuk $(4,2\sqrt{5}),$ persamaan garis singgungya adalah $4x+2\sqrt{5}y=36$$\Longleftrightarrow2x+\sqrt{5}y-18=0$

Untuk $(4,-2\sqrt{5}),$ persamaan garis singgungya adalah $4x-2\sqrt{5}y=36$$\Longleftrightarrow2x-\sqrt{5}y-18=0$

Jadi persamaan garis singgungya adalah $2x+\sqrt{5}y-18=0$ atau $2x-\sqrt{5}y-18=0.$

Substitusikan titik $(7,1)$ ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$ agar mengetahui lingkaran berada di dalam atau diluar lingkaran

$\left(7,1\right)\rightarrow7^{2}+1^{2}=50>25$

Berarti titik $(7,1)$ berada diluar lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

$7x+y=25\rightarrow y=25-7x$. . . (1)

Substitusikan pers $(1)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$

$x^{2}+(25-7x)^{2}=25$

$x^{2}+625-350x+49x^{2}=25$

$50x^{2}-350x+600=0$

$x^{2}-7x+12=0$

$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0$

$x=3$ atau $x=4$

Untuk $x=3$ diperoleh $y=25-7\cdot3=4,$ sehingga titik potongnya $(3,4)$

Untuk $x=4$ diperoleh $y=25-7\cdot4=-3,$ sehingga titik potongnya $(4,-3)$

* Persamaan garis singung melalui titik $(3,4)$ adalah :

$x_{1}x+y_{1}y=25$

$3x+4y=25$

* Persamaan garis singgung melalui titik $(4,-3)$ adalah :

$x_{1}x+y_{1}y=25$

$4x-3y=25$

Jadi persamaan garis singgung lingkarannya $3x+4y=25$ atau $4x-3y=25.$

Titik $(10,-10)$ berada diluar lingkaran karena $10^{2}+(-10)^{2}=200>20$

Untuk mengerjakan soal ini kita tulis satu titik pada lingkaran yang melalui P, misalkan titik $Q(a,b)$, karena (a,b) terletak pada lngkaran yaitu $ax+by=20$, maka persamaan garis singgung melalui titik $(10,-10)$

$10a-10b=20$

$a-b=2\rightarrow a=b+2$. . .(1)

Substitusikan pers (1) ke pers lingkaran $a^{2}+b^{2}=20$

$\left(b+2\right)^{2}+b^{2}=20$

$b^{2}+4b+4+b^{2}-20=0$

$2b^{2}+4b-16=0$

$b^{2}+2b-8=0$

$\left(b+4\right)(b-2)=0$

$b=-4$ atau $b=2$

Untuk $b=-4,$ diperoleh nilai $a=-4+2=-2$, jadi titiknya $(-2,-4)$

Untuk $b=2,$ diperoleh nilai $a=2+2=4$, jadi titiknya $(4,2)$

Persamaan garis singgung $ax+by=20$

Jadi persamaan garis singgungnya

Untuk $(-2,-4):-2x-4y=20$$\rightarrow x+2y+10=0$

Untuk $(4,2):4x+2y=20$$\rightarrow2x+y-10=0.$

Misalkan garis singgungya adalah $y=mx$, selanjutnya substitusikan ke pers lingkaran $\left(x-3\right)^{2}+(y-4)^{2}=5$ didapat :

$\left(x-3\right)^{2}+(mx-4)^{2}=5$

$x^{2}-6x+9+m^{2}x^{2}-8mx+16-5=0$

$\left(1+m^{2}\right)x^{2}-(6+8m)x+20=0$

Syarat menyinggung $D=0$

$\left(6+8m\right)^{2}-4(1+m^{2})(20)=0$

$36+96m+64m^{2}-80-80m^{2}=0$

$-16m^{2}+96m-44=0$

$4m^{2}-24m+11=0$

$\left(2m-1\right)(2m-11)=0$

$m=\frac{1}{2}$ atau $m=\frac{11}{2}$

Sehingga persamaan garis singgungya adalah :

$y=\frac{1}{2}x$ atau $x-2y=0$

$y=\frac{11}{2}x$ atau $11x-2y=0$

Yang memenuhi dengan option adalah $11x-2y=0.$

Jadi panjang garis singgung dari $(13,0)$ ke lingkaran $=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12.$

Panjang garis singgung $=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12.$

$x^{2}+y^{2}+4x-2y-13=0$ memiliki pusat $(-2,1)$ dan $r=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}-(-13)}$$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Panjang garis singgung dari titik pusat $(-2,1)$ ke titik $(3,2)$ adalah :

$\sqrt{(3+2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

Panjang garis singgung $=\sqrt{\left(\sqrt{26}\right)^{2}-\left(\sqrt{18}\right)^{2}}$$=\sqrt{26-18}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Pusat lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x-4y+2=0$ adalah $(1,2)$

Gradien garis $2x-y+3=0$ adalah $m_{1}=2$

Gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $2x-y+3=0$ adalah $m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}=-\frac{1}{2}$

Persamaaan garis singgung di titik $(1,2):$

$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$

$-2y+4=x-1$

$x+2y-5=0$

Substitusikan titik $(-12,12)$ ke lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-8y-111=0$

$(-12)^{2}+(12)^{2}-6(-12)-8(12)-11=253>0$

Berarti ttitik $(-12,12)$ berada di luar lingkaran

Lingkaran tersebut berpusat di $\left[-\frac{1}{2}\left(-6\right),-\frac{1}{2}(-8)\right]=(3,4)$

Jari- jari lingkarannya adalah $=\sqrt{3^{2}+4^{2}-(-11)}=\sqrt{36}=6$

Jarak dari titik pusat ke $(-12,12)=\sqrt{\left(-12-3\right)^{2}+(12-4)^{2}}$$=\sqrt{225+64}=17$

Jarak terdekat = Jarak titik pusat ke $(-12,12)$ – jari-jari lingkaran = $17-6=11.$

$L1:x^{2}+y^{2}-10x-8y+32=0,$ berpusat di $P_{1}(5,4)$ dan $r_{1}=\sqrt{5^{2}+4^{2}-32}=3$

$L2:x^{2}+y^{2}-2x-2y-14=0$, berpusat di $P_{2}=(1,1)$ dan $r_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}-(-14)}=4$

$r_{1}+r_{2}=3+4=7$

Jarak $P_{1}$ke $P_{2}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-1)^{2}}$$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$P_{1}P_{2} < r_{1}\cdot r_{2}$ maka kedua lingkaran berpotongan.

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+2y+5=0$ atau $\left(x-3\right)^{2}+(y+1)^{2}=5$

Berpusat di $\left(3,-1\right)$ dan $r=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-5}=\sqrt{5}$

Persamaan garis singgungnya adalah $\left(x_{1}-a\right)(x-a)+(y_{1}+b)(y+b)=r^{2}$

$(4,-4)$$\rightarrow(4-3)(x-3)+(-4+1)(y+1)=5$

Persamaan garis singgungya adalah $x-3y=11$$\rightarrow x=11+3y$….(1)

Persamaan (1) substitusikan ke pers lingkaran sehingga diperoleh :

$\left((11+3y)-3\right)^{2}+(y+1)^{2}=5$$\rightarrow(3y+8)^{2}+(y+1)^{2}=5$

$9y^{2}+48y+64+y^{2}+2y+1-5=0$

$10y^{2}+50y+60=0$

$y^{2}+5y+6=0$

$\left(y+2\right)(y+3)=0$

$y=-2,$ maka $x=5$

$y=-3,$ maka $x=2$

Jadi titik singgungnya adalah $(5,-2)$ dan $(2,-3).$

Jaraknya $=\sqrt{(2-5)^{2}+(-3-(-2))^{2}}$$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.$

Misalkan persamaan garis singgungnya $px+qy=9$ (karena pusatnya $(0,0)$ ),dimana p dan q pada di lingkaran

Melalui titik $(0,5)$$\rightarrow5q=9$$\rightarrow q=\frac{9}{5}$….(1)

Substitusikan pers (1) ke pers lingkaran, sehingga diperoleh :

$p^{2}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=9$

$p^{2}=9-\frac{81}{25}=\frac{144}{25}$

$p=\pm\sqrt{\frac{144}{25}}=\pm\frac{12}{5}$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $\frac{12}{5}x+\frac{9}{5}y$ dan $-\frac{12}{5}x+\frac{9}{5}y.$

$x^{2}+y^{2}=13$

Pusatnya $(0,0)$ dan jari-jari = $\sqrt{13}$

Persamaan garis singgung dengan pusat $(0,0)$ adalah :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Substitusikan titi (1,5) ke pers garis singgung :

$5=m\pm\sqrt{13}\cdot\sqrt{m^{2}+1}$

$5-m=\pm\sqrt{13m^{2}+13}$ (kuadratkan kedua ruas) :

$\left(5-m\right)^{2}=13m^{2}+13$

$m^{2}-10m+25=13m^{2}+13$

$12m^{2}+10m-12=0$

$6m^{2}+5m-6=0$

$\left(2m+3\right)(3m-2)=0$

$m=-\frac{3}{2}$ atau $m=\frac{2}{3}$

Untuk memastikan positif atau negatinya

Ketika kita subtitusikan ke 5 – m ternyata keduanya positif.

Kita akan pakai yang positif saja

Substitusikan nilai m ke pers garis singgung.

* Untuk $m=-\frac{3}{2}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{4}}=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$

$2y=-3x+13\rightarrow2y+3x-13=0$

* Untuk $m=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}.\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$

$3y=2x+13$$\rightarrow3y-2x-13=0$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $2y+3x-13=0$ dan $3y-2x-13=0.$