Titik $(1,2)$ ke lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$

$\left(1,2\right)\rightarrow1^{2}+2^{2}=5=5$

Titik $(a,b)$ terletak pada lingkaran, jika $a^{2}+b^{2}=r^{2}$

Jadi titik $(1,2)$ berada pada lingkaran.

$3x^{2}+3y^{2}=9$$\rightarrow x^{2}+y^{2}=3$

Substitusikan titik $(-4,-3)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}=3$

$\left(-4\right)^{2}+\left(-3\right)^{2}$$=16+9=25>3$

Titik $(a,b)$ terletak diluar lingkaran, jika $a^{2}+b^{2}>r^{2}$

Jadi titik $(-4,-3)$ terhadap lingkaran $3x^{2}+3y^{2}=9$ berada diluar lingkaran.

Titik $(a,b)$ terletak diluar lingkaran, jika $a^{2}+b^{2}>r^{2}$

Substitusikan nilai $(3,m)$ ke pers lingkaran $x^{2}+y^{2}=45$

$3^{2}+m^{2}>45$

$9+m^{2}-45>0$

$m^{2}-36>0$

$\left(m-6\right)(m+6)>0$

$m<-6$ atau $m>6$

Jadi titik $(3,m)$ berada pada luar lingkaran $x^{2}+y^{2}=45$ , untuk nilai $m$ yang memenuhi $m<-6$ atau $m>6.$

Titik $(a,b)$ terletak didalam lingkaran, jika $a^{2}+b^{2} < r^{2}$

Substitusikan nilai $(a,3)$ ke pers lingkaran : $x^{2}+y^{2}=13$

$a^{2}+3^{2}<13$

$a^{2}+9-13<0$

$a^{2}-4<0$

$\left(a-2\right)(a+2)<0$

$-2 < a < 2$

Jad nilai $a$ agar titik $(a,3)$ berada didalam lingkaran : $x^{2}+y^{2}=13$ jika $-2 < a < 2.$

Titik $(-2,3)$ substitusikan ke persamaan lingkaran $(x-1)^{2}+\left(y+4\right)^{2}=144$

$\left(-2,3\right)$$\rightarrow\left(-2-1\right)^{2}+(3+4)^{2}$$=9+49=58<144$

Titik $(h,k)$ terletak di dalam Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2} < r^{2}.$

Jadi titik $(-2,3)$ terhadap lingkaran $(x-1)^{2}+\left(y+4\right)^{2}=144$ beradadi dalam lingkaran.

Titik $(h,k)$ terletak diluar Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2}>r^{2}$

Substitusikan nilai $(2,a)$ ke pers lingkaran $\left(x+1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=10$

$\left(2+1\right)^{2}+\left(a-3\right)^{2}>10$

$9+a^{2}-6a+9-10>0$

$a^{2}-6a+8>0$

$\left(a-4\right)(a-2)>0$

$a < 2$ atau $a>4$

Jadi nilai titik $(2,a)$ terletak diluar lingkaran $\left(x+1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=10$ untuk $a < 2$ atau $a>4.$

Lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+2y+5=0$ pusat dan jari masing-masing :

Pusat = $\left(-\frac{1}{2}(-6),-\frac{1}{2}(2)\right)=(3,-1)$

Jari-jari = $\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-5}$$=\sqrt{9+1-5}$$=\sqrt{5}$

Jadi lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+2y+5=0$ ekuivalen dengan lingkaran $\left(x-3\right)^{2}+(y+1)^{2}=5$

Substitusikan $(4,-4)$ ke lingkaran $\left(x-3\right)^{2}+(y+1)^{2}=5$

$(4,-4)$$\rightarrow\left(4-3\right)^{2}+\left(-4+1\right)^{2}$$=1+9=10>5$

Titik $(h,k)$ terletak diluar Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2}>r^{2}$

Jadi titik $A(4,-4)$ terhadap $x^{2}+y^{2}-6x+2y+5=0$ berada diluar lingkaran.

$x^{2}+y^{2}-4x+6y=0$

$\left(x-2\right)^{2}-4+\left(y+3\right)^{2}-9=0$

$\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=13=\left(\sqrt{13}\right)^{2}$

Substitusikan $(1,3)$ ke lingkaran $\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=13$

$\left(1,3\right)$$\rightarrow\left(1-2\right)^{2}+\left(3+3\right)^{2}$$=1+36=37>13$

Titik (h,k) terletak diluar Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2}>r^{2}$

Jadi titik (1,3) terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+6y=0$ berada di luar lingkaran.

Substitusikan titiki $(7,9)$ ke pers lingkaran : $x^{2}+y^{2}-8x-10y+16=0$

$7^{2}+9^{2}-8(7)-10(9)+16=49+81-56-90+16=0$

Ketak $k(m,n)$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

$k=m^{2}+n^{2}+Am+Bn+C=0$

Jika $k=0$, maka titik berada pada lingkaran

Jadi titik $(7,9)$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}-8x-10y+16=0$ berada pada lingkaran.

$x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0$

$\left(x-1\right)^{2}-1+\left(y+3\right)^{2}-9-15=0$

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}-25=0$

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=25$

Substitusikan titik $(m,1)$ ke pers lingkaran $\left(x-1\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=25$

Titik $(h,k)$ terletak didalam Lingkaran jika $\left(h-a\right)^{2}+\left(k-b\right)^{2} < r^{2}$

$\left(m-1\right)^{2}+(1+3)^{2} < 25$

$m^{2}-2m+1+16-25 < 0$

$m^{2}-2m-8 < 0$

$\left(m-4\right)(m+2) < 0$

$-2 < m < 4$

Jadi titik $(m,1)$ berada didalam lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0$ untuk nilai $m$ yang memenuhi $-2 < m < 4.$

$L1:x^{2}+y^{2}=8$, Pusat $(0,0)$ dan $r_{1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$L2:x^{2}+y^{2}-10x-10y+32=0$, Pusat $(5,5)$ dan $r_{2}=\sqrt{25+25-32}$$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Jarak dari $P_{1}$ke $P_{2}$ adalah $\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}$

$r_{1}+r_{2}=P_{1}P_{2}=5\sqrt{2}$

Berarti kedua lingkaran bersinggungan di luar.

(i) $x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0$

Memiliki pusat $(-3,4)$ dan $r_{1}=\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}-21}$$=\sqrt{4}=2$

(ii) $x^{2}+y^{2}+10x-8y+21=0$

memiliki pusat (-5,4) dan $r_{2}=\sqrt{(-5)^{2}+(4)^{2}-21}$$=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Jarak dari pusat lingkaran I ke lingkaran II adalah $\sqrt{(-5-(-3))^{2}+(4-4)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$

$r_{1}+r_{2}=2+2\sqrt{5}$

Karena $P_{1}P_{2} < r_{1}\cdot r_{2}$ , maka kedua lingkaran bersinggungan dalam.

$L1:x^{2}+y^{2}-10x-8y+32=0$, berpusat di $P_{1}(5,4)$ dan $r_{1}=\sqrt{5^{2}+4^{2}-32}$$=3$

$L2:x^{2}+y^{2}-2x-2y-14=0$, berpusat di $P_{2}=(1,1)$ dan $r_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}-(-14)}$$=4$

$r_{1}+r_{2}=3+4=7$

Jarak $P_{1}$ ke $P_{2}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-1)^{2}}$$=\sqrt{16+9}$$=\sqrt{25}=5$

$P_{1}P_{2} < r_{1}\cdot r_{2}$ maka kedua lingkaran berpotongan.

$L_{1}:x^{2}+y^{2}+6x-8y+25=0$

Pusat $\left(P_{1}\right)=(-3,4)$

Jari-jari $\left(r_{1}\right)=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+4^{2}-21}$$=\sqrt{4}=2$

$L_{2}:x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0$

Pusat $\left(P_{2}\right)=(-5,4)$

Jari-jari $\left(r_{2}\right)=\sqrt{\left(-5\right)^{2}+4^{2}-25}$$=\sqrt{16}=4$

$\left|P_{1}P_{2}\right|$$=\sqrt{\left(-5+3\right)^{2}+\left(4-4\right)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$

$r_{2}+r_{1}=4+2=6$

$P_{1}P_{2} < r_{1}\cdot r_{2}$ maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam.

$L_{1}:x^{2}+y^{2}-10x+2y+17=0$

$P_{1}=(5,-1)$

$r_{1}=\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}-17}$$=\sqrt{25+1-17}$$=\sqrt{9}=3$

$L_{2}:x^{2}+y^{2}+8x-22y-7=0$

$P_{2}=(-4,11)$

$r_{2}=\sqrt{\left(-4\right)^{2}+11^{2}-(-7)}$$=\sqrt{144}=12$

$\left|P_{1}P_{2}\right|=\sqrt{\left(5+4\right)^{2}+\left(-1-11\right)^{2}}$$=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$

$r_{1}+r_{2}=3+12=15$

Karena $\left|P_{1}P_{2}\right|=r_{1}+r_{2}$, maka kedua lingkaran bersinggungan luar.