$x=0$ , $x_{2}=10,2$, dan $\triangle x=0,2$

$V=x^{3}$

$\frac{dV}{dx}=3x^{2}$

$\begin{aligned}dV & =3x^{2}\cdot dx\\
& =3(10)^{2}\cdot0,2\\
& =60\mbox{ cm}^{2}
\end{aligned}
$

$S(t)=2t^{3}-18t^{2}+54t$

$\begin{aligned}v & =\frac{ds}{dt}\\
& =6t^{2}-36t+54
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}a & =\frac{dv}{dt}\\
& =12t-36
\end{aligned}
$

Diketahui $a=12$ maka :

$12t-36=12$

$\rightarrow12t=48$

$\Rightarrow t=4$

Kecepatan saat $t=4$ sekon adalah :

$\begin{aligned}v & =6t^{2}-36t+54\\
& =6(4)^{2}-36(4)+54\\
& =6\mbox{ m/s}
\end{aligned}
$

$a+b=300$$\Rightarrow a=300-b$….(1)

Misalkan $y=a\cdot b^{2}$

$\begin{aligned}y & =a\cdot b^{2}\\
& =\left(300-b\right)\cdot b^{2}\\
& =300b^{2}-b^{3}
\end{aligned}
$

agar $y=a\cdot b^{2}$ maksimum, maka $y’=0$

$y’=600b-3b^{2}=0$

$3b(200-b)=0$

$b=0$ atau $b=200$

Jika $b=200$, maka $a=300-200=100.$

$K=2(p+l)$

$2x+24=2(p+l)$

$\Rightarrow p+l=x+12$

$p+\left(8-x\right)=x+12$

$p=2x+4$

$\begin{aligned}L(x) & =pl\\
& =(2x+4)(8-x)\\
& =-2x^{2}+12x+32
\end{aligned}
$

Agar luasnya maksimum, maka $L'(x)=0$

$-4x+12=0$

$\Rightarrow x=3$

Jadi panjangnya adalah

$\begin{aligned}p & =2(3)+4\\
& =10
\end{aligned}
$

$B(x\, unit)=\left(x^{3}-2.000x^{2}+3.000.000x\right)$

$B(per\, unit)=\left(x^{2}-2.000x+3.000.000\right)$

Biaya produksi per unit minimum ketika B’ (per unit ) $=0$

$2x-2000=0$

$x=1000$

$x\cdot y=12$

$\Rightarrow y=\frac{12}{x}$….(1)

Keliling $=3x+4y$

$\begin{aligned}K & =3x+4\left(\frac{12}{x}\right)\\
& =3x+\frac{48}{x}
\end{aligned}
$

$K'(x)=0$ (syarat agar maksimum)

$3-\frac{48}{x^{2}}=0$

$3x^{2}=48$

$\Rightarrow x^{2}=16$

$\Longleftrightarrow x=4$

untuk $x=4$, maka

$\begin{aligned}y & =\frac{12}{4}\\
& =3.
\end{aligned}
$

$R(t)=15t^{2}-t^{3}$

reaksi habis jika $R(t)=0$

$\begin{aligned}15t^{2}-t^{3} & =0\\
t^{2}(15-t) & =0\\
t & =15
\end{aligned}
$

Reaksi habis setelah $15$ jam disemprotkan

$R'(t)=30t-3t^{2}$

Reaksi maksimum dicapai pada saat R'(t) = 0

$\begin{aligned}30t-3t^{2} & =0\\
3t(10-t) & =0\\
t & =10.
\end{aligned}
$

Reaksi maksimum dicapai setelah $10$ jam disemprotkan.

Reaksi maksimum akan dicapai $15-10=5$ jam sebelum reaksi habis.

Jumlah keliling alas dan salah satu rusuk tegaknya adalah $4$ berarti :

$4s+t=4$

$\Rightarrow t=4-4s$….(1)

$L=2s^{2}+4st$….(2)

Substitusikan pers (1) ke pers (2) :

$\begin{aligned}L & =2s^{2}+4s\left(4-4s\right)\\
& =-14s^{2}+16s
\end{aligned}
$

syarat luasnya maksimum yaitu $L’=0$

$-28s+16=0$

$\Rightarrow s=\frac{4}{7}$

Keuntungan $=$ Harga jual $-$ Harga beli

Keuntungan penjualan $x$ radio adalah :

$U=x\left(50-\frac{1}{2}x\right)-\left(\frac{1}{4}x^{2}+35x+25\right)$

$\begin{aligned}U & =50x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}-35x-25\\
& =-\frac{3}{4}x^{2}+15x-25
\end{aligned}
$

Keuntungan maksimm terjadi ketika $U’=0$

$-\frac{3}{2}x+15=0$

$\Rightarrow x=10.$

Luas semua bidang sisinya $96$ $cm^{2}$ dan alasnya persegi

Luas balok yang alasnya persegi adalah $=2\left(s^{2}+st+st\right)$$=2\left(s^{2}+2st\right)$

$96=2\left(s^{2}+2st\right)$

$48=\left(s^{2}+2st\right)$

$\rightarrow t=\frac{24}{s}-\frac{s}{2}$…. (1)

$V=s^{2}t$…. (2)

Substitusikan pers (1) ke pers (2) :

$\begin{aligned}V & =s^{2}\left(\frac{24}{s}-\frac{s}{2}\right)\\
& =24s-\frac{s^{3}}{2}
\end{aligned}
$

Volume akan maksimum jika $V'(x)=0$

$\begin{aligned}24-\frac{3s^{2}}{2} & =0\\
3s^{2} & =48\\
s^{2}-16 & =0\\
\left(s-4\right)\left(s+4\right) & =0
\end{aligned}
$

$s=4$ atau $s=-4$

Ambil nilai $s=4$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned}t & =\frac{24}{4}-\frac{4}{2}\\
& =6-2\\
& =4
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}\mbox{Volume } & =s^{2}t\\
& =4^{2}\cdot4\\
& =64\mbox{ cm}^{3}.
\end{aligned}
$

Misalkan panjang rusuknya adalah $s$ dan volume kubus $(V)=s^{3}$

Laju bertambahnya panjang terhadap waktu $=\frac{ds}{dt}=7$

Laju bertambahnya Volume terhadap waktu :

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$

$\frac{dV}{dt}=3s^{2}\cdot7=21s^{2}$

untuk $s=15$, maka :

$\frac{dV}{dt}=21\left(15\right)^{2}=4.725$ cm$^{3}$/detik.

Pesamaan garis yang melalui titik $(0,\,15)$ dan melalui titik $(10,\,0)$ :

$\frac{y-15}{0-15}=\frac{x-0}{10-0}$

$3x+2y=30$

Ilustrasinya sebagai berikut :

Luas persegi panjang $=2xy$

$L=2x\left(\frac{30-3x}{2}\right)=30x-3x^{2}$

Luas maksimum terjadi jika $L’=0$

$\begin{aligned}30-6x & =0\\
6x & =30\\
x & =5
\end{aligned}
$

Jadi luas persegi panjang tersebut adalah :

$\begin{aligned}L & =30(5)-3(5)^{2}\\
& =150-75\\
& =75\ cm^{2}.
\end{aligned}
$

Jika diilustrasikan sebagai berikut :

$\begin{aligned}V(h) & =\left(c-2h\right)^{2}h\\
& =\left(c^{2}-4ch+4h^{2}\right)h\\
& =c^{2}h-4ch^{2}+4h^{3}
\end{aligned}
$

Agar volumenya maksimum, maka V ‘(h) = 0

$c^{2}-8ch+12h^{2}=0$

$(6h-c)(2h-c)=0$

$h=\frac{1}{6}c$ atau $h=\frac{1}{2}c$

Nilai $h=\frac{1}{2}c$ tidak mungkin memenuhi. Jadi nilai h yang memenuhi $h=\frac{1}{6}c.$

$K=p=2x+2y+\pi x$

$y=\frac{1}{2}\left(p-2x-\pi x\right)$

Luas pintu adalah :

$L(x)=2xy+\frac{1}{2}\pi x^{2}$

$=2x\cdot\frac{1}{2}\left(p-2x-\pi x\right)+\frac{1}{2}\pi x^{2}$

$=px-2x^{2}-\pi x^{2}+\frac{1}{2}\pi x^{2}$

Luas maksimum ketika $L'(x)=0$

$p-4x-\pi x=0$

$p-x\left(4+\pi\right)=0$

$x=\frac{p}{4+\pi}.$

Jari-Jari lingkaran $=\frac{1}{2}p$

keliling arsiran $=p+2q+\frac{1}{2}\pi p=100$

$2q=100-\left(1+\frac{1}{2}\pi\right)$

$\Rightarrow q=50-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi\right)p$

Luas arsiran L = L persegi panjang – L $\frac{1}{2}$ lingkaran

$L=pq-\frac{1}{2}\pi\left(\frac{1}{2}p\right)^{2}$

$=p(50-\frac{1}{2}p-\frac{1}{4}\pi p)-\frac{1}{8}\pi p^{2}$

$=\left(50p-\frac{1}{2}p^{2}-\frac{3}{8}\pi p^{2}\right)$

Luas terbesar terjadi ketika $L’=0$

$50-p-\frac{3}{4}\pi p=0$ ( dikalikan $4$)

$200-4p-3\pi p=0$

$200-p(4+3\pi)=0$

$\Rightarrow p=\frac{200}{4+3\pi}.$