Syarat fungsi turun jika $f'(x) < 0$

$f'(x)=2x-2 < 0$

$2x < 2$

$x < 1$

$y=6x^{2}-6x+18$

$y’=12x-6$

Syarat fungsi naik adalah $y’>0$

$12x-6>0$

$12x>6$

$x>\frac{1}{2}$

$f(x)=3x^{2}-4x+5$

$f'(x)=6x-4$

Syarat fungsi turun yaitu $f'(x)<0$

$6x-4<0$

$6x<4$

$x<\frac{2}{3}$

$f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-2x+5$

$f'(x)=2x^{2}-3x-2$

Syarat fungsi turun jika $f'(x)<0$

$2x^{2}-3x-2<0$

$\left(2x+1\right)(x-2)<0$

$f(x)=-2x^{3}-11x^{2}+8x+5$

Syarat fungsi naik adalah $f'(x)>0$

$-6x^{2}-22x+8>0$

$3x^{2}+11x-4<0$

$\left(3x-1\right)(x+4)<0$

Jadi nilai x agar fungsi naik adalah $-4<x<\frac{1}{3}.$

Syarat fungsi naik adalah $f'(x)<0$

$f'(x)=3x^{2}-6x<0$

$3x(x-2)<0$

$x(x-2)<0$

$\begin{aligned}f(x) & =x\sqrt{x-2}\\
& =\sqrt{x^{3}-2x^{2}}\\
& =\left(x^{3}-2x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$

Syarat fungsi naik adalah $f'(x)>0$

$f'(x)=\frac{3x^{2}-4x}{2\sqrt{x^{3}-2x^{2}}}>0$

$\frac{x\left(3x-4\right)}{2x\sqrt{x-2}}>0$

Nol fungsi :

$x=0$, $x=\frac{4}{3}$

syarat akar $(x-2)>0$$\Rightarrow x>2$

Jadi solusinya adalah $x>2.$

$f(x)=3+2x^{2}-x^{4}$

$f'(x)=4x-4x^{3}$

Syarat fungsi naik yaitu $f'(x)>0$

$4x-4x^{3}>0$

$x-x^{3}>0$

$x\left(1-x^{2}\right)>0$

$x(1-x)(1+x)>0$

$x=0$, $x=-1$, $x=1$

Jadi agar fungsi naik maka $x<-1$ atau $0<x<1.$

$f(x)=\frac{x^{2}-2x+4}{x-2}$

Syarat fungsi turun adalah $f'(x)<0$

$f'(x)=\frac{(2x-2)(x-2)-\left(x^{2}-2x+4\right)(1)}{\left(x-2\right)^{2}}<0$

$\frac{2x^{2}-6x+4-x^{2}+2x-4}{\left(x-2\right)^{2}}<0$

$\Rightarrow\frac{x^{2}-4x}{\left(x-2\right)^{2}}<0$

$\frac{x(x-4)}{\left(x-2\right)^{2}}<0$

Jadi solusi untuk x agar fungsi turun adalah $0<x<2$ dan $2<x<4.$

Syarat fungsi naik jika $f'(x)>0$

$3ax^{2}+2b+c>0$

Fungsi kuadrat $3ax^{2}+2b+c$ akan selalu lebuh besar dari $0$, jika $D<0$ dan koefisien dari $x^{2}$
selalu lebih besar dari $0$ atau istilah lainnya disebut definit positif.

Syarat Definit positif :

$*\ D<0$

$\left(2b\right)^{2}-4(3a)(c)<0$

$4b^{2}-12ac<0$

$b^{2}-3ac<0$

$*\ 3a>0$

$a>0$

Jadi pilihan yang memenuhi adalah E.

$f(x)$ merupakan deret geometri tak hingga dengan $r=-sinx$

$f(x)=\frac{a}{1-r}$

$f(x)=\frac{sinx}{1+sinx}$

misalkan $u=sinx$ dan $v=1+sinx$

Gunakan aturan pembagian untuk menemukan $f'(x)$

$\begin{aligned}f'(x) & =\frac{u’v-uv’}{v^{2}}\\
& =\frac{cosx(1+sinx)-sinx(cosx)}{\left(1+sinx\right)^{2}}\\
& =\frac{cosx+sinx.cosx-sinx.cosx}{\left(1+sinx\right)^{2}}\\
& =\frac{cosx}{\left(1+sinx\right)^{2}}
\end{aligned}
$

Dalam selang $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$, cos $x$ selalu bernilai positif. $\left(1+sinx\right)^{2}$
selalu bernilai positif

$\begin{aligned}f'(x) & =\frac{cosx}{\left(1+sinx\right)^{2}}\\
& =\frac{+}{+}>0
\end{aligned}
$

Jadi dapat disimpulkan bahwa $f(x)$ adalah fungsi naik.

$f(x)=1+cosx+cos^{2}x+cos^{3}x+…$ merupakan deret geometri tak hingga dengan $r=cosx$

$f(x)=\frac{a}{1-r}$

$f(x)=\frac{1}{1-cosx}$

$f'(x)=\frac{-sinx}{\left(1-cosx\right)^{2}}$

untuk interval $0<x<\pi$ , $f'(x)$ selalu negatif atau $f'(x)<0$

Jadi $f(x)$ adalah fungsi turun.

Misalkan $y=2-\frac{1}{2}x$$\Rightarrow x=4-2y$

Substitusikan nilai x ke pers diatas sehingga diperoleh :

$f(y)=4-2\left(4-2y\right)+\left(4-2y\right)^{2}$

$f(y)=4-8+2y+16$$+16-16y+4y^{2}$

$f(y)=4y^{2}-12y+12$

$f'(y)=8y-12$

Syarat naik $f’>0$

$8y-12>0$

$8y>12$

$y>\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

$y>\frac{3}{2}$

$x>\frac{3}{2}$

Fungsi $f(x)$ turun

Syarat turun $f'(x)<0$

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

$f'(x)=3x^{2}+2ax+b<0$

$x^{2}+\frac{2a}{3}x+\frac{b}{3}<0$….(1)

$(x+1)(x-5)<0$….(2)

Dari pers (1) dan (2) dapat kita peroleh :

$x^{2}+\frac{2a}{3}x+\frac{b}{3}=(x+1)(x-5)$

$x^{2}+\frac{2a}{3}x+\frac{b}{3}=x^{2}-4x-5$

$\frac{2a}{3}=-4$$\rightarrow a=-6$

$\frac{b}{3}=-5$$\rightarrow b=-15$

Jadi nilai

$\begin{aligned}a+b & =-6+-15\\
& =-21
\end{aligned}
$

Misalkan $u=\left(x^{2}-a\right)$ dan $v=\left(2x+b\right)^{3}$

$y’=u’v+uv’$

Syarat fungsi turun jika $y'<0$

$\left(2x\right)\left(2x+b\right)^{3}+$$\left(x^{2}-a\right)\cdot6\left(2x+b\right)^{2}<0$

$\left(2x+b\right)^{2}$$\times\left\{ 2x\left(2x+b\right)+6\left(x^{2}-a\right)\right\} <0$

$\left(2x+b\right)^{2}\left\{ 10x^{2}+2xb-6a\right\} <0$

$\left(2x+b\right)^{2}$ selalu bernilai positif sehingga :

$\left\{ 10x^{2}+2xb-6a\right\} <0$…. (1)

untuk $-1<x<\frac{2}{5}$, maka bentuk pertidaksamaan asalnya adalah $(5x-2)(x+1)<0$

$5x^{2}+3x-2<0$ (kalikan kedua ruaas dengan 2)

$10x^{2}+6x-4<0$ …. (2)

Padankan pers (1) ke pers (2)

$\left\{ 10x^{2}+2bx-6a\right\} =10x^{2}+6x-4$

$2b=6$$\rightarrow b=3$

$6a=4$$\rightarrow a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Jadi $ab=\frac{2}{3}\cdot3=2$