$\begin{aligned}C_{2}^{5}\times C_{3}^{10} & =\frac{5!}{(5-2)!\cdot2!}\times\frac{10!}{(10-3)!\cdot3!}\\
& =\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}\times\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot3\cdot2\cdot1}\\
& =10\times120\\
& =1200
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}C_{n-2}^{n} & =36\\
\frac{n!}{\left\{ n-(n-2)\right\} !\cdot(n-2)!} & =36\\
\frac{n!}{2!(n-2)!} & =36\\
\frac{n(n-1)(n-2)!}{2\cdot(n-2)!} & =36\\
n^{2}-n & =72\\
n^{2}-n-72 & =0\\
\left(n-9\right)(n+8) & =0
\end{aligned}
$

$n=9$ atau $n=-8$

Karena n adalah bilangan positif , maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=9.$

Menyusun $3$ siswa dari $20$ siswa yang ada, berarti :

$\begin{aligned}C_{3}^{20} & =\frac{20!}{(20-3)!\cdot3!}\\
& =\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17!}{17\cdot!\cdot3\cdot2\cdot1}\\
& =1.140
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya kelompok yang terbentuk adalah $1.140.$

Segitiga terdiri dari $3$ titik.

Dengan demikian banyaknya segitiga yang tebentuk dari $5$ titik adalah :

$\begin{aligned}C_{3}^{5} & =\frac{5!}{(5-3)!\cdot3!}\\
& =\frac{5!}{3!\cdot2!}\\
& =\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}\\
& =10
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya segitiga yang terbentuk adalah $10.$

Akan dibentuk $6$ orang panitia $4$ diantaranya pria,berarti $2$ lagi dari wanita.

Dengan demikian menyusun $4$ pria dari $5$ pria yang ada dan menyusun $2$ wanita dari $4$ wanita yang ada :

$\begin{aligned}C_{4}^{5}\cdot C_{2}^{4} & =\frac{5!}{(5-4)!\cdot4!}.\frac{4!}{(4-2)!\cdot2!}\\
& =5\cdot6\\
& =30
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya cara pemilihan ada $30$ cara.

Banyaknya cara Laura menukar $1$ tas dengan Nadia :

$\begin{aligned}C_{1}^{3}\times C_{1}^{5} & =\frac{3!}{(3-1)!\cdot1!}\times\frac{5!}{(5-1)!\cdot1!}\\
& =3\cdot5\\
& =15
\end{aligned}
$

Banyaknya cara Laura menukar 2 tas dengan Nadia :

$\begin{aligned}C_{2}^{3}\times C_{2}^{5} & =\frac{3!}{(3-2)!\cdot2!}\times\frac{5!}{(5-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{3\cdot2!}{1\cdot2!}\times\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}\\
& =3\cdot10\\
& =30
\end{aligned}
$

Banyaknya cara Laura menukar 3 tas dengan Nadia :

$\begin{aligned}C_{3}^{3}\times C_{3}^{5} & =\frac{3!}{(3-3)!\cdot3!}\times\frac{5!}{(5-3)!\cdot3!}\\
& =\frac{3!}{1\cdot3!}\times\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}\\
& =1\cdot10\\
& =10
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya cara yang dapat mereka lakukan untuk saling tukar menukar adalah $15+30+10=55$ cara.

Mengerjakan $9$ dari $10$ soal ulangan

$4$ soal tersisa yang harus dikerjakan. Dengan demikian tinggal memilih $4$ dari $5$ soal yang ada:

$\begin{aligned}C_{4}^{5} & =\frac{5!}{(5-4)!.4!}\\
& =5
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya pilihan yang dapat diambil oleh anak itu adalah $5$ pilihan.

Jabat tangan melibatkan dua orang. Dengan demikian menyusun $2$ dari $15$ :

$\begin{aligned}C_{2}^{15} & =\frac{15!}{(15-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{15\cdot14\cdot13!}{13\cdot!\cdot2}\\
& =105
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah $105$ jabat tangan.

Banyaknya pertandingan adalah $300$

Pertandingan melibatkan dua orang. misalkan banyaknya peserta lomba catur adalah $n$ , maka :

$\begin{aligned}C_{2}^{n} & =300\\
\frac{n!}{(n-2)!2!} & =300\\
\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} & =600\\
n(n-1) & =600\\
n^{2}-n-600 & =0\\
(n-25)(n+24) & =0\\
n & =25
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya peserta lomba catur ada $25$ orang.

Banyaknya cara memilih $2$ dari $5$ orang untuk bermain tunggal :

$\begin{aligned}C_{2}^{5} & =\frac{5!}{(5-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2}\\
& =10
\end{aligned}
$

Karena sudah dipilih 2 orang untuk bermain tunggal, maka tinggal terdapat 3 orang untuk bermain ganda:

$\begin{aligned}C_{2}^{3} & =\frac{3!}{(3-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{3\cdot2!}{1!\cdot2}\\
& =3
\end{aligned}
$

Banyaknya cara memilih pasangan ganda kedua, $2$ pemain tunggal tunggal hanya boleh bermain ganda sekali = $C_{1}^{2}=2$

Jadi banyaknya susunan adalah $10\cdot3\cdot2=60.$

Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya.

Kapasitas mobil masing-masing adalah $5$ orang termasuk pengemudi.

Karena $2$ mobil sudah pasti terisi oleh $2$ orang pengemudi yang merupakan pemilik mobil masing-masing, maka selanjutnya adalah cara menysusun.

$4$ orang ke dalam dua mobil tersebut.

Jika mobil I berisi $4$ orang, maka mobil II berisi $0$ penumpang sehingga banyaknya susunan adalah $C_{4}^{4}=1$

Jika mobil I berisi $3$ orang, maka mobil II berisi $1$ orang, sehingga banyaknya susunan adalah $C_{3}^{4}\cdot C_{1}^{1}=4$

Jika mobil I berisi $2$ orang, maka mobil II berisi $2$ orang, sehingga banyaknya susunan adalah $C_{2}^{4}\cdot C_{2}^{2}=6$

Jika mobil I berisi $1$ orang, maka mobil II berisi $3$ orang, sehingga banyaknya susunaan adalah $C_{1}^{4}\cdot C_{3}^{3}=4$

Jika mobil I berisi $0$ orang, maka mobil II berisi $4$ orang, sehingga banyaknya susunan adalah $C_{0}^{4}\cdot C_{4}^{4}=1$

Jadi banyaknya cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut $=1+4+6+4+1=16.$

Banyaknya cara membentuk tim yang beranggotakan $5$ orang paling banyak $2$ putri adalah :

$C_{2putri}^{3}\cdot C_{3putra}^{7}+$$C_{1putri}^{3}.C_{4putra}^{7}+C_{5putra}^{7}$$=\frac{3!}{(3-2)!\cdot2!}\cdot\frac{7!}{(7-3)!\cdot3!}$$+\frac{3!}{(3-1)!\cdot1!}\cdot\frac{7!}{(7-4)!\cdot4!}+\frac{7!}{(7-5)!\cdot5!}$

$=3\cdot(35)+3\cdot(35)+21=231$

Jadi banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah $231.$

Partai A $10$ orang dan partai B $6$ orang. dan akan dibentuk koalisi beranggotakan $10$ orang, kemungkinannya adalah :

$8$ orang dari partai A dan $2$ orang dari partai B

$\begin{aligned}C_{8}^{10}\cdot C_{2}^{6} & =\frac{10!}{(10-8)!\cdot8!}\cdot\frac{6!}{(6-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot8!}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2}\\
& =45\cdot15\\
& =675
\end{aligned}
$

$7$ orang dari partai A dan $3$ orang dari partai B

$\begin{aligned}C_{7}^{10}\cdot C_{3}^{6} & =\frac{10!}{(10-7)!\cdot7!}\cdot\frac{6!}{(6-3)!\cdot3!}\\
& =\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3\cdot2\cdot1}\\
& =120\cdot20\\
& =2400
\end{aligned}
$

$6$ orang dari partai A dan $4$ orang dari partai B

$\begin{aligned}C_{6}^{10}\cdot C_{4}^{6} & =\frac{10!}{(10-6)!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{(6-4)!\cdot4!}\\
& =\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot4!}{6!\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2\cdot1}\\
& =15\cdot210\\
& =3150
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya pemerintahan koalisi yang dapat dibentuk adalah $675+2.400+3.150=6.225.$

Kemungkinan kemungkinannya adalah :

Pasangan ganda campuran ($1$ putra dan $1$ putri ) :

$\begin{aligned}C_{1}^{10}\cdot C_{1}^{5} & =\frac{10!}{(10-1)!\cdot1!}\cdot\frac{5!}{(5-1)!\cdot1!}\\
& =10\cdot5\\
& =50
\end{aligned}
$

Pasangan ganda putra :

$\begin{aligned}C_{2}^{10} & =\frac{10!}{(10-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}\\
& =45
\end{aligned}
$

Pasangan ganda putri :

$\begin{aligned}C_{2}^{5} & =\frac{5!}{(5-2)!\cdot2!}\\
& =\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!}\\
& =10
\end{aligned}
$

Jadi banyaknya pasangan ganda yang terbentuk adalah $50+45+10=105.$

$10$ orang terbagi ke dalam dua mobil dengan kapasitas $6$ orang dan $7$ orang serta satu mobil minimal $2$ orang.

Terdapat beberapa kemungkinan :

$7$ orang di mobil I, dan $3$ orang di mobil II :

$C_{7}^{10}=\frac{10!}{(10-7)!7!}=120$

$6$ orang di mobil I, dan $4$ orang di mobil II :

$C_{6}^{10}=\frac{10!}{(10-6)!6!}=210$

$5$ orang di mobil I, dan $5$ orang di mobil II :

$C_{5}^{10}=\frac{10!}{(10-5)!5!}=252$

$4$ orang di mobil I,dan $6$ orang di mobil II :

$C_{4}^{10}=\frac{10!}{(10-4)!4!}=210$

Jadi banyaknya kemungkinan susunan adalah $120+210$$+252+210$$=792$ cara.