$P(a,\, b)\overset{x=h}{\longrightarrow}P'(2h-a,\, b)$

$B(4,\,-2)\overset{x=-5}{\longrightarrow}B'(2(-5)-4,\,-2)$$=B'(-14,\,-2)$

Jadi bayangn dari titik B adalah $B'(-14,\,-2).$

$P(a,\, b)\overset{y=h}{\longrightarrow}P'(a,\,2h-b)$

$P(10,\,12)\overset{y=-1}{\longrightarrow}P'(10,\,2(-1)-12)$$=P'(10,\,-14).$

Jadi bayangannya adalah $(10,-14).$

$Q(a,\, b)\overset{y=h}{\longrightarrow}Q'(2h-a,\, b)$

$Q(3,\,-1)$$\overset{y=h}{\longrightarrow}Q'(1,\,-1)$

$\begin{aligned}2h-a & =1\\
2h-3 & =1\\
2h & =4\\
h & =2
\end{aligned}
$

$A(a,\, b)\overset{y=h}{\longrightarrow}A'(a,\,2h-b)$

$A(-5,\,-7)$$\overset{y=a}{\longrightarrow}A'(-5,\,2a-(-7))$$=A'(-5,\,-1)$

$\begin{aligned}2a+7 & =-1\\
2a & =-8\\
a & =-4
\end{aligned}
$

$P(a,\, b)\overset{y=3}{\longrightarrow}P'(a,\,2h-b)$

mislkan koordinat titik $B(a,\, b)$

$B(a,\, b)\overset{y=3}{\longrightarrow}B'(10,\,-7)$

$a=10$

$2(3)-b=-7$$\rightarrow b=13$

Jadi koordinat titik $B(10,\,13)$

$(3,\,2)\xrightarrow{M_{1}}(3,\,2\times(-1)-2)$

$=(3,\,-4)\xrightarrow{M_{2}}(3,\,2\times4-(-4))$

$=(3,\,12)$

Kita punya $(2,\,-5)\xrightarrow{C(y=-3)}$$(2,\,-1)\xrightarrow{C(y=4)}(2,\,9).$

Jika suatu titik $(a,\, b)$ dicerminkan terhadap garis $x=h$, maka bayangannya adalah $(2h-a,\, b)$

titik $B(10,\,-8)$ dicerminakn terhadap sumbu y :

$B(10,\,-8)\overset{sumbu-y}{\longrightarrow}$$B'(-10,\,-8)$

Selanjutnya dicerminkan terhadap garis x = -2 :

$B'(-10,\,-8)\overset{x=-2}{\longrightarrow}$$B”\left\{ 2(-2)-(-10),\,-8\right\} $$=B”(6,\,-8).$

Titik $A(-5,\,8)$ dicerminkan terhadap garis $x=4$, maka bayangannya :

$A(-5,\,8)\overset{x=4}{\longrightarrow}$$A'(2\cdot4-(-5),\,8)$$=A'(13,\,8)$

selanjutnya A’ dicerminkan terhadap sumbu x :

$A'(13,\,8)\overset{smbu-x}{\longrightarrow}$$A”(13,\,-8)$

Jadi bayangannya setelah dicerminkan terhadap garis $x=4$ kemudian diceminkan terhadap sumbu $x$ adalah $(13,\,-8).$

Titik $(2,\,3)$ dicerminkan terhadao garis $x=-1$

$P(2,\,3)\overset{x=-1}{\longrightarrow}$$P'(2(-1)-2,\,3)$$=P'(-4,\,3)$

selanjutnya dicerminkan terhadap garis x = 3 :

$P'(-4,\,3)\overset{x=3}{\longrightarrow}$$P”\{2(3)-(-4),\,3\}$$=P'(10,\,3)$

Jadi bayangannya adalah $(10,\,3).$

Kita punya $(x_{0},y_{0})\xrightarrow{C(y=x)}(y_{0},x_{0})$$\xrightarrow{R(0,\frac{1}{2}\pi)}(-x_{0},y_{0})$.

Perhatikan bahwa $x_{0},\, y_{0}$ memenuhi $x_{0}-2y_{0}+1=0$, sehingga kita punya $-(-x_{0})-2y_{0}+1=0$, sehingga $(-x_{0})+2y_{0}-1=0$.

Jadi bayangan garisnya adalah $x+2y-1=0$.

Tulis $\theta$ sehingga $\tan(\theta)=2$.

Kita punya $\sec^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta)=5$, sehingga $\cos^{2}(\theta)=\frac{1}{5}$.

Misalkan $(x’,\, y’)$ adalah hasil bayangannya, maka kita punya

$\begin{pmatrix}x’\\
y’
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}\cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\
(13-3)
\end{pmatrix}$$+\begin{pmatrix}0\\
3
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\
10
\end{pmatrix}$$+\begin{pmatrix}0\\
3
\end{pmatrix}$

sehingga kita punya $x’=10(\sin(2\theta)+\cos(2\theta))$ dan $y’=10(\sin(2\theta)-\cos(2\theta))+3$.

Kita punya;

$x’=10(2\sin(\theta)\cos(\theta)$$+\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))$

$=10\cos^{2}(\theta)(2\tan(\theta)+1-\tan^{2}(\theta))$

$=2(2\times2+1-4)=2$

dan

$y’=10(2\sin(\theta)\cos(\theta)$$-\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))+3$

$=10\cos^{2}(\theta)(2\tan(\theta)-1+\tan^{2}(\theta))+3$

$=2(2\times2-1+4)+3=17$

sehingga $(x’,\, y’)=(2,\,17)$.

Persamaan garis pertama adalah $y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$.

Jika $\tan(\theta)=-\frac{2}{3}$, kita punya $\begin{pmatrix}x’\\
y’
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)
\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}4\\
2-\frac{1}{3}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\
\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$

Kemudian, jika $m$ gradien garis, kita punya $\tan(\theta)=m=-\frac{2}{3}$,

sehingga kita punya $\sec^{2}(\theta)=1+m^{2}$ sehingga $\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{1}{1+m^{2}}$.

Kemudian

$\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$

$=2\cos^{2}(\theta)\tan(\theta)$

$=\frac{2m}{1+m^{2}}$.

Terakhir

$\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)$

$=\cos^{2}(\theta)(1-\tan^{2}(\theta))$

$=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}$.

Jadi kita punya $\sin(2\theta)=\frac{-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}}=-\frac{12}{13}$ dan $\cos(2\theta)=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}$.

Jadi kita punya:

$\begin{pmatrix}x’\\
y’
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{13} & -\frac{12}{13}\\
-\frac{12}{13} & -\frac{5}{13}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\
\frac{5}{3}
\end{pmatrix}$$+\begin{pmatrix}0\\
\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}0\\
-\frac{13}{3}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\
\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}0\\
-4
\end{pmatrix}.$

Kemudian kita punya titik $(0,\,-4)$ akan dicerminkan terhadap garis $3x+2y+1=0$, sehingga kita punya
$y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$.

Jadi $m=-\frac{3}{2}$, dan

$\sin(2\theta)=\frac{2m}{1+m^{2}}$$=\frac{-3}{1+\frac{9}{4}}$$=-\frac{3}{\frac{13}{4}}$$=-\frac{12}{13}$

dan $\cos(2\theta)=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}$$=\frac{1-\frac{9}{4}}{1+\frac{9}{4}}$$=\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}}$$=-\frac{5}{13}$.

Jadi:

$\begin{pmatrix}x”\\
y”
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{5}{13} & -\frac{12}{13}\\
-\frac{12}{13} & \frac{5}{13}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\
-\frac{7}{2}
\end{pmatrix}$$+\begin{pmatrix}0\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\frac{42}{13}\\
-\frac{35}{26}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\frac{42}{13}\\
-\frac{48}{26}
\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\frac{42}{13}\\
-\frac{24}{13}
\end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik $A$ adalah $(\frac{42}{13},\,-\frac{24}{13})$.

Jika suatu titik $(a,\, b)$ dicerminkan terhadap garis $y=h$, maka bayangannya adalah $(a,\,2h-b)$

penceminan terhadap garis $y=-5$:

$(x’,\, y’)=(x,\,2\cdot(-5)-y)$

$(x’,\, y’)=(x,\,-10-y)$

$x=x’$… (1)

$y’=-10-y$$\rightarrow y=-y’-10$…(2)

substitusikan pers (1) dan (2) ke fungsi kurva untuk mendapat bayangannya :

$-y’-10=-x’^{2}+4$

$y’=x’^{2}-14$

Jadi persamaan bayangannya adalah kurva $y=x^{2}-14.$

Jika suatu titik $(a,\, b)$ dicerminkan terhadap garis $x=h$, maka bayangannya adalah $(2h-a,\, b)$

Jika suatu titik $(a,\, b)$ dicerminkan terhadap garis $y=h$, maka bayangannya adalah $(a,\,2h-b)$

* dicerminkan terhadap garis $x=2:$

$(x’,\, y’)=(2\cdot2-x,\, y)$$=(4-x,\, y)$

$x’=4-x\rightarrow x=4-x’$….(1)

$y=y’$…. (2)

selanjutnya dicerminkan terhadap garis y = -1 :

$\begin{aligned}(x”,\, y”) & =(x’\end{aligned}
,\,2\cdot(-1)-y’)$ ….(3)

substitusikan $x=4-x’$ dan $y=y’$ ke pers (3)

$\begin{aligned}(x”,\, y”) & =\end{aligned}
$ $(4-x,\,-2-y)$

$x”=4-x\rightarrow x=4-x”$. . .(4)

$y”=-2-y\rightarrow y=-2-y”$. . . (5)

substitusikan pers (4) dan (5) ke fungsi garis $2x-5y+6=0$ untuk memperoleh bayangannya :

$\begin{aligned}2(4-x”)-5(-2-y”)+6 & =0\\
8-2x”+10+5y”+6 & =0\\
-2x”+5y”+24 & =0\\
\rightarrow2x”-5y”-24 & =0
\end{aligned}
$

Jadi persamaan bayangannya adalah $2x-5y-24=0.$