Perkalian silang (cross product) dua vektor merupakan salah satu materi matematika yang cukup menarik untuk dibahas. Kalau kebetulan kamu ingin belajar tentang materi ini lebih dalam, simak penjelasan lengkapnya berikut. Kami juga telah menyediakan soal latihan yang bisa dikerjakan untuk mengasah kemampuanmu.
Di sini, kamu akan belajar tentang Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor melalui video yang dibawakan oleh Bapak Anton Wardaya. Kamu akan diajak untuk memahami materi hingga metode menyelesaikan soal.
Selain itu, kamu juga akan mendapatkan latihan soal interaktif dalam 3 tingkat kesulitan (mudah, sedang, sukar). Dengan begitu, kamu bisa langsung mempraktikkan materi yang telah dijelaskan.
Sekarang, kamu bisa mulai belajar dengan 2 video dan 3 set latihan soal yang ada di halaman ini. Apabila materi ini berguna, bagikan ke teman atau rekan kamu supaya mereka juga mendapatkan manfaatnya.
Kamu dapat download modul & contoh soal serta kumpulan latihan soal lengkap dalam bentuk pdf pada list dibawah ini:
Pengertian Perkalian Silang Dua Vektor
Sifat Perkalian Silang Dua Vektor
Latihan Soal Perkalian Silang Cross Product Dua Vektor (Mudah)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Jika $\left|A\times B\right|=0$ , maka hubungan antara vektor A dan vektor B adalah…
Betul$\left|A\times B\right|=\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha$
$\left|A\times B\right|=0$
Berarti
$\begin{aligned}\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha & =0\\
sin\alpha & =0\\
\alpha & =0
\end{aligned}
$Sudut antara kedua vektor adalah $0^{\circ}$ berarti kedua vektor adalah sejajar.
Salah$\left|A\times B\right|=\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha$
$\left|A\times B\right|=0$
Berarti
$\begin{aligned}\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha & =0\\
sin\alpha & =0\\
\alpha & =0
\end{aligned}
$Sudut antara kedua vektor adalah $0^{\circ}$ berarti kedua vektor adalah sejajar.
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Pernyataan yang salah dari pilihan berikut ini adalah…
Betul$A\times B=B\times A$ pernyataan salah, seharusnya $A\times B=-\left(B\times A\right)$
$A\times(B+C)=A\times B+A\times C$ pernyataan benar
$A\cdot(B\times C)=B\cdot(C\times A)=C\cdot(A\times B)$ pernyataan benar
$A\times(B\times C)\neq(A\times B)\times C$ pernyataan benar
$mA\times B=m\left(A\times B\right)$ pernyataan benar
Salah$A\times B=B\times A$ pernyataan salah, seharusnya $A\times B=-\left(B\times A\right)$
$A\times(B+C)=A\times B+A\times C$ pernyataan benar
$A\cdot(B\times C)=B\cdot(C\times A)=C\cdot(A\times B)$ pernyataan benar
$A\times(B\times C)\neq(A\times B)\times C$ pernyataan benar
$mA\times B=m\left(A\times B\right)$ pernyataan benar
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan dan B = 10 satuan. Jika sudut antara kedua vektor membentuk $30^{\circ}$. Nilai dari $\left|A\times B\right|=…$
Betul$\begin{aligned}\left|A\times B\right| & =\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha\\
& =8\cdot10\cdot sin30^{\circ}\\
& =8\cdot10\cdot\frac{1}{2}\\
& =40
\end{aligned}
$Salah$\begin{aligned}\left|A\times B\right| & =\left|A\right|\cdot\left|B\right|\cdot sin\alpha\\
& =8\cdot10\cdot sin30^{\circ}\\
& =8\cdot10\cdot\frac{1}{2}\\
& =40
\end{aligned}
$ -
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika diketahui $\left|\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{3}$ satuan dan $\left|\overrightarrow{b}\right|=6$ satuan. Jika $\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right|=18$ , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah…
Betul$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right| & =\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot sin\alpha\\
18 & =2\sqrt{3}\cdot6\cdot sin\alpha\\
sin\alpha & =\frac{18}{12\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
& =\frac{18}{36}\sqrt{3}\\
& =\frac{1}{2}\sqrt{3}\\
& =sin60^{\circ}\\
\alpha & =60^{\circ}
\end{aligned}
$Salah$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right| & =\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot sin\alpha\\
18 & =2\sqrt{3}\cdot6\cdot sin\alpha\\
sin\alpha & =\frac{18}{12\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
& =\frac{18}{36}\sqrt{3}\\
& =\frac{1}{2}\sqrt{3}\\
& =sin60^{\circ}\\
\alpha & =60^{\circ}
\end{aligned}
$ -
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Jika diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}
3\\
0\\
-2
\end{array}\right)$dan $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
0
\end{array}\right)$, maka nilai $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=…$Betul$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
3 & 0 & -2\\
2 & -1 & 0
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
0 & -2\\
-1 & 0
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
3 & -2\\
2 & 0
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
3 & 0\\
2 & -1
\end{array}\right|$$=-2i-4j-3k$
Jadi $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ =$2i-4j+3k=\left(\begin{array}{c}
2\\
-4\\
3
\end{array}\right).$Salah$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
3 & 0 & -2\\
2 & -1 & 0
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
0 & -2\\
-1 & 0
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
3 & -2\\
2 & 0
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
3 & 0\\
2 & -1
\end{array}\right|$$=-2i-4j-3k$
Jadi $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ =$2i-4j+3k=\left(\begin{array}{c}
2\\
-4\\
3
\end{array}\right).$
Latihan Soal Perkalian Silang Cross Product Dua Vektor (Sedang)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Jika diketahui vektor $\overrightarrow{a}=2i-j+5k$ dan $\overrightarrow{b}=-i-3j$, maka nilai $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=…$
Betul$\overrightarrow{a}=3i-2k=\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
5
\end{array}\right)$$\overrightarrow{b}=2i-j=\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)$$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & -3 & 0\\
2 & -1 & 5
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-3 & 0\\
-1 & 5
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
2 & 5
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & -3\\
2 & -1
\end{array}\right|$$=-15i+5j+7k$
Jadi $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=-15i+5j+7k.$
Salah$\overrightarrow{a}=3i-2k=\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
5
\end{array}\right)$$\overrightarrow{b}=2i-j=\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)$$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & -3 & 0\\
2 & -1 & 5
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-3 & 0\\
-1 & 5
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
2 & 5
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & -3\\
2 & -1
\end{array}\right|$$=-15i+5j+7k$
Jadi $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=-15i+5j+7k.$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Jika $A=2i-3j+k$ dan $B=-j+2k$, maka $3A\times B=…$
BetulIngat sifat $kA\times B=k\cdot\left(A\times B\right)$
Cari telebih dahulu $A\times B$ :
$\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -3 & 1\\
0 & -1 & 2
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-3 & 1\\
-1 & 2
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 1\\
0 & 2
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -3\\
0 & -1
\end{array}\right|$$=-5i-4j-2k$
$\begin{aligned}3A\times B & =3\left(A\times B\right)\\
& =3\left(-5i-4j-2k\right)\\
& =-15i-12j-6k
\end{aligned}
$SalahIngat sifat $kA\times B=k\cdot\left(A\times B\right)$
Cari telebih dahulu $A\times B$ :
$\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -3 & 1\\
0 & -1 & 2
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-3 & 1\\
-1 & 2
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 1\\
0 & 2
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -3\\
0 & -1
\end{array}\right|$$=-5i-4j-2k$
$\begin{aligned}3A\times B & =3\left(A\times B\right)\\
& =3\left(-5i-4j-2k\right)\\
& =-15i-12j-6k
\end{aligned}
$ -
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Jika $u=2i-j+k$ , $v=4i-2k$ dan $w=j+3k$ , maka $u\times(v+w)=…$
Betul$v+w=\left(\begin{array}{c}
4\\
0\\
-2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
3
\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
1
\end{array}\right)$$u\times\left(v+w\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -1 & 1\\
4 & 1 & 1
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 1\\
4 & 1
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & 1
\end{array}\right|$$=-2i+2j+6k.$
Salah$v+w=\left(\begin{array}{c}
4\\
0\\
-2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
3
\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
1
\end{array}\right)$$u\times\left(v+w\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -1 & 1\\
4 & 1 & 1
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 1\\
4 & 1
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & 1
\end{array}\right|$$=-2i+2j+6k.$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika $A=2i-2j+k$, $B=-i+3k$ , $C=4j-6k$, maka nilai dari $A\cdot\left(B\times C\right)=…$
BetulJika $A=A_{1}i+A_{2}j+A_{3}k$ , \textbf{$B=B_{1}i+B_{2}j+B_{3}k,$ }dan $C=C_{1}i+C_{2}j+C_{3}k$, maka :
$A\cdot\left(B\times C\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3}\\
B_{1} & B_{2} & B_{3}\\
C_{1} & C_{2} & C_{3}
\end{array}\right|$$=\left|\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 1\\
-1 & 0 & 3\\
0 & 4 & -6
\end{array}\right|$$=2\left|\begin{array}{cc}
0 & 3\\
4 & -6
\end{array}\right|-(-2)\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
0 & -6
\end{array}\right|$$+1\left|\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right|$$=2(-12)+2(6)+(-4)$
$=-16$
SalahJika $A=A_{1}i+A_{2}j+A_{3}k$ , \textbf{$B=B_{1}i+B_{2}j+B_{3}k,$ }dan $C=C_{1}i+C_{2}j+C_{3}k$, maka :
$A\cdot\left(B\times C\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3}\\
B_{1} & B_{2} & B_{3}\\
C_{1} & C_{2} & C_{3}
\end{array}\right|$$=\left|\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 1\\
-1 & 0 & 3\\
0 & 4 & -6
\end{array}\right|$$=2\left|\begin{array}{cc}
0 & 3\\
4 & -6
\end{array}\right|-(-2)\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
0 & -6
\end{array}\right|$$+1\left|\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right|$$=2(-12)+2(6)+(-4)$
$=-16$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Jika diketahui $A=i-k$, $B=6k$ dan $C=2i+j-3k$ , maka $\left(A\times B\right)\cdot C=…$
BetulJika $A=A_{1}i+A_{2}j+A_{3}k$ , $B=B_{1}i+B_{2}j+B_{3}k,$ dan $C=C_{1}i+C_{2}j+C_{3}k$, maka :
$A=i-k$, $B=6k$ dan $C=2i+j-3k$
$\left(A\times B\right)\cdot C$$=\left|\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3}\\
B_{1} & B_{2} & B_{3}\\
C_{1} & C_{2} & C_{3}
\end{array}\right|$$=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 6\\
2 & 1 & -3
\end{array}\right|$$=1\left|\begin{array}{cc}
0 & 6\\
1 & -3
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}
0 & 6\\
2 & -3
\end{array}\right|$$+(-1)\left|\begin{array}{cc}
0 & 0\\
2 & 1
\end{array}\right|$$=1(-6)-0(-12)+(-1)$
$=-6$
SalahJika $A=A_{1}i+A_{2}j+A_{3}k$ , $B=B_{1}i+B_{2}j+B_{3}k,$ dan $C=C_{1}i+C_{2}j+C_{3}k$, maka :
$A=i-k$, $B=6k$ dan $C=2i+j-3k$
$\left(A\times B\right)\cdot C$$=\left|\begin{array}{ccc}
A_{1} & A_{2} & A_{3}\\
B_{1} & B_{2} & B_{3}\\
C_{1} & C_{2} & C_{3}
\end{array}\right|$$=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 6\\
2 & 1 & -3
\end{array}\right|$$=1\left|\begin{array}{cc}
0 & 6\\
1 & -3
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}
0 & 6\\
2 & -3
\end{array}\right|$$+(-1)\left|\begin{array}{cc}
0 & 0\\
2 & 1
\end{array}\right|$$=1(-6)-0(-12)+(-1)$
$=-6$
Latihan Soal Perkalian Silang Cross Product Dua Vektor (Sukar)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Jika $A=2i-6j-3k$ dan $B=4i+3j-k$, maka vektor satuan yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut adalah…
BetulMisalkan vektor $C=ai+bj+ck$ adalah vektor yang tegak lurus terhadap vektor A dan B, maka :
dua vektor saling tegak lurus jika dot product kedua vektor $=0$
$\begin{aligned}A\cdot C & =0\\
\left(\begin{array}{c}
2\\
-6\\
-3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c
\end{array}\right) & =0\\
2a-6b-3c & =0….(1)\\
B\cdot C & =0\\
\left(\begin{array}{c}
4\\
3\\
-1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c
\end{array}\right) & =0\\
4a+3b-c & =0….(2)
\end{aligned}
$dari pers (1) dan (2) diperoleh :
$a=\frac{1}{2}c$ dan $b=-\frac{1}{3}c$
$\begin{aligned}C & =\frac{1}{2}ci-\frac{1}{3}cj+ck\\
& =c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)
\end{aligned}
$vektor satuandalam arah C :
$\begin{aligned}\frac{C}{\left|C\right|} & =\frac{c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)}{\sqrt{c^{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+1^{2}\right\} }}\\
& =\frac{c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)}{\pm\frac{7}{6}c}\\
& =\pm\left(\frac{3}{7}i-\frac{2}{7}j+k\right)
\end{aligned}
$Jadi vektor satuannya adalah $\frac{3}{7}i-\frac{2}{7}j+k$ atau $-\frac{3}{7}i+\frac{2}{7}j-k.$
SalahMisalkan vektor $C=ai+bj+ck$ adalah vektor yang tegak lurus terhadap vektor A dan B, maka :
dua vektor saling tegak lurus jika dot product kedua vektor $=0$
$\begin{aligned}A\cdot C & =0\\
\left(\begin{array}{c}
2\\
-6\\
-3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c
\end{array}\right) & =0\\
2a-6b-3c & =0….(1)\\
B\cdot C & =0\\
\left(\begin{array}{c}
4\\
3\\
-1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c
\end{array}\right) & =0\\
4a+3b-c & =0….(2)
\end{aligned}
$dari pers (1) dan (2) diperoleh :
$a=\frac{1}{2}c$ dan $b=-\frac{1}{3}c$
$\begin{aligned}C & =\frac{1}{2}ci-\frac{1}{3}cj+ck\\
& =c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)
\end{aligned}
$vektor satuandalam arah C :
$\begin{aligned}\frac{C}{\left|C\right|} & =\frac{c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)}{\sqrt{c^{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+1^{2}\right\} }}\\
& =\frac{c\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{3}j+k\right)}{\pm\frac{7}{6}c}\\
& =\pm\left(\frac{3}{7}i-\frac{2}{7}j+k\right)
\end{aligned}
$Jadi vektor satuannya adalah $\frac{3}{7}i-\frac{2}{7}j+k$ atau $-\frac{3}{7}i+\frac{2}{7}j-k.$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Jika $\overrightarrow{a}=2i-j+3k$, $\overrightarrow{b}=i+2j-4k$ dan $\overrightarrow{c}=i+3j-2k$, maka nilai dari $\overrightarrow{a}\times\left(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}\right)=…$
Betul$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
1 & 2 & -4\\
1 & 3 & -2
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & -4\\
3 & -2
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & -2
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 3
\end{array}\right|$$=8i-2j+k$
$\overrightarrow{a}\times\left(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -1 & 3\\
8 & -2 & 1
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
-2 & 1
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
8 & 1
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -1\\
8 & -2
\end{array}\right|$$=5i+22j+4k$
Salah$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
1 & 2 & -4\\
1 & 3 & -2
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & -4\\
3 & -2
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & -2
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 3
\end{array}\right|$$=8i-2j+k$
$\overrightarrow{a}\times\left(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}\right)$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
2 & -1 & 3\\
8 & -2 & 1
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
-2 & 1
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
8 & 1
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
2 & -1\\
8 & -2
\end{array}\right|$$=5i+22j+4k$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Diketahui vektor $\overrightarrow{u}=-i+2j-3k$ dan $\overrightarrow{v}=2j+4k$. Vektor $\overrightarrow{w}$ adalah vektor yang tegak lurus terhadap vektor $\overrightarrow{u}$ dan$\overrightarrow{v}$. Proyeksi ortoghonal vektor $\overrightarrow{w}$ terhadap vektor $\overrightarrow{p}=2i-j+2k$ adalah…
BetulCross product dari dua vektor akan menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut:
$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$
$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & 2 & -3\\
0 & 2 & 4
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & -3\\
2 & 4
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & -3\\
0 & 4
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
0 & 2
\end{array}\right|$$=14i+4j-2k$
Proyeksi orthogonal $\overrightarrow{w}$ terhadap vektor $\overrightarrow{p}$ :
$\begin{aligned}\frac{\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{p}}{\left|\overrightarrow{p}\right|} & =\frac{\left(\begin{array}{c}
14\\
4\\
-2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
2
\end{array}\right)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}\\
& =\frac{28-4-4}{3}\\
& =\frac{20}{3}
\end{aligned}
$SalahCross product dari dua vektor akan menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut:
$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$
$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & 2 & -3\\
0 & 2 & 4
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & -3\\
2 & 4
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & -3\\
0 & 4
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
0 & 2
\end{array}\right|$$=14i+4j-2k$
Proyeksi orthogonal $\overrightarrow{w}$ terhadap vektor $\overrightarrow{p}$ :
$\begin{aligned}\frac{\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{p}}{\left|\overrightarrow{p}\right|} & =\frac{\left(\begin{array}{c}
14\\
4\\
-2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2\\
-1\\
2
\end{array}\right)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}\\
& =\frac{28-4-4}{3}\\
& =\frac{20}{3}
\end{aligned}
$ -
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika $\overrightarrow{u}=4i-j+3k$ dan $\overrightarrow{u}=-12i+6j-12k$, maka luas jajaran genjang ABCD = … satuan luas.
BetulLuas jajaran genjang ABCD $=\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|$
$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
4 & -1 & 3\\
-12 & 6 & -12
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
6 & -12
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
4 & 3\\
-12 & -12
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
4 & -1\\
-12 & 6
\end{array}\right|$$=-6i+12j+12k$
$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right| & =\sqrt{\left(-6\right)^{2}+12^{2}+12^{2}}\\
& =\sqrt{36+144+144}\\
& =\sqrt{324}\\
& =18
\end{aligned}
$Jadi luas jajaran genjang ABCD adalah $18$ satuan luas.
SalahLuas jajaran genjang ABCD $=\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|$
$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
4 & -1 & 3\\
-12 & 6 & -12
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3\\
6 & -12
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
4 & 3\\
-12 & -12
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
4 & -1\\
-12 & 6
\end{array}\right|$$=-6i+12j+12k$
$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right| & =\sqrt{\left(-6\right)^{2}+12^{2}+12^{2}}\\
& =\sqrt{36+144+144}\\
& =\sqrt{324}\\
& =18
\end{aligned}
$Jadi luas jajaran genjang ABCD adalah $18$ satuan luas.
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Diketahui titik sudut segitiga ABC adalah $A(1,\,2,\,-1)$, $B(0,\,4,\,6)$ dan $C(-2,\,3,\,8).$ Luas segitiga tersebut adalah…satuan luas.
BetulPerhatikan ilustrasi berikut :
$\begin{aligned}\overrightarrow{AB} & =B-A\\
& =(0,\,4,\,6)-(1,\,2,\,-1)\\
& =(-1,\,2,\,7)\\
& =-i+2j+7k
\end{aligned}
$$\begin{aligned}\overrightarrow{AC} & =C-A\\
& =(-2,\,3,\,8)-(1,\,2,\,-1)\\
& =(-3,\,1,\,9)\\
& =-3i+j+9k
\end{aligned}
$$L\triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|$
cari terlebih dahulu$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & 2 & 7\\
-3 & 1 & 9
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & 7\\
1 & 9
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & 7\\
-3 & 9
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-3 & 1
\end{array}\right|$$=11i-12j+5k$
$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| & =\sqrt{11^{2}+(-12)^{2}+5^{2}}\\
& =\sqrt{121+144+25}\\
& =\sqrt{290}
\end{aligned}
$$\begin{aligned}L\triangle ABC & =\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\\
& =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{290}
\end{aligned}
$SalahPerhatikan ilustrasi berikut :
$\begin{aligned}\overrightarrow{AB} & =B-A\\
& =(0,\,4,\,6)-(1,\,2,\,-1)\\
& =(-1,\,2,\,7)\\
& =-i+2j+7k
\end{aligned}
$$\begin{aligned}\overrightarrow{AC} & =C-A\\
& =(-2,\,3,\,8)-(1,\,2,\,-1)\\
& =(-3,\,1,\,9)\\
& =-3i+j+9k
\end{aligned}
$$L\triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|$
cari terlebih dahulu$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-1 & 2 & 7\\
-3 & 1 & 9
\end{array}\right|$$=i\left|\begin{array}{cc}
2 & 7\\
1 & 9
\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}
-1 & 7\\
-3 & 9
\end{array}\right|$$+k\left|\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-3 & 1
\end{array}\right|$$=11i-12j+5k$
$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| & =\sqrt{11^{2}+(-12)^{2}+5^{2}}\\
& =\sqrt{121+144+25}\\
& =\sqrt{290}
\end{aligned}
$$\begin{aligned}L\triangle ABC & =\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\\
& =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{290}
\end{aligned}
$
