Kita punya proyeksi $=\frac{(3,\,1,\,-1)\cdot(2,\,5,\,1)}{(2,\,5,\,1)\cdot(2,\,5,\,1)}(2,\,5,\,1)$

$=\frac{10}{30}(2,\,5,\,1)$

$=(\frac{2}{3},\,\frac{5}{3},\,\frac{1}{3})$

$=\frac{1}{3}(2,\,5,\,1)$

Perhatikan bahwa $|\vec{z}|=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{y}|}$

Kita punya $|\vec{y}|=\sqrt{3+4+9}=\sqrt{16}=4.$

Kemudian kita punya $\vec{x}\cdot\vec{y}=-3+6+3=6.$

Jadi panjang vektor $\vec{z}$ adalah $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$

Perhatikan bahwa proyeksi ortogonal berbeda dengan proyeksi vektor. Proyeksi ortogonal selalu tegak lurus dari proyeksi vektor

Pertama-tama, kita cari vektor proyeksi dari $\vec{u}$ ke$\vec{v}$ ,tulis sebagai $\vec{z}$.

Kita punya $\vec{z}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{u}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\vec{v}$ , sehingga $\vec{z}=\frac{-12}{24}(2,\,-2,\,4)$$=(-1,\,1,\,-2)$.

Jadi, proyeksi ortogonalnya adalah $-\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$.

Vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ $=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\cdot b$

$=\frac{6-4+8}{4+4+16}(2,\,-2,\,4)$

$=\frac{10}{24}(2,\,-2,\,4)$

$=\frac{5}{6}i-\frac{5}{6}j+\frac{5}{3}k$

$=\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{150}{36}}$

$=\frac{5}{6}\sqrt{6}$

$\begin{aligned}\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b} & =\frac{-2+15+2}{1+9+4}(-1,3,2)\\
& =\frac{15}{14}(1,-3,2)
\end{aligned}
$

$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\cdot\vec{b}=-k(1,\,-2,\,-2)\rightarrow$Syarat sejajar dan berlawanan.

Jadi $\vec{b}=(1,\,-2,\,-2)$ dan $-k=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}$

$\begin{aligned}-k & =\frac{(-3,\,0,\,0)\cdot(1,\,-2,\,-2)}{(1,\,-2,\,-2,)\cdot(1,\,-2,\,-2)}\\
& =\frac{-3}{9}\\
k & =\frac{1}{3}
\end{aligned}
$

Jadi vektor yang dimaksud adalah $-\frac{1}{3}(1,\,-2,\,-2)=\left(-\frac{1}{3},\,\frac{2}{3},\,\frac{2}{3}\right).$

Kita punya $(\vec{a}+\vec{c})=(6,-3,3)$ , sehingga vektor proyeksinya adalah;

$\begin{aligned}\frac{(6,\,-3,\,3)\cdot(1,\,-2,\,2)}{(1,\,-2,\,2)\cdot(1,\,-2,\,2)}(1,\,-2,\,2) & =\frac{18}{9}(1,\,-2,\,2)\\
& =(2,\,-4,\,4)
\end{aligned}
$

Misalkan $\vec{b}=(x\cdot y)$ . Maka, panjang proyeksi adalah $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{2x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2$.

Sehingga kita punya, $4x^{2}+4xy+y^{2}=4x^{2}+4y^{2}$ , sehingga $4xy=3y^{2}$.

Kita punya antara $y=0\mbox{ atau }4x=3y$.

Kemudian, kedua sudutnya haruslah lancip, sehingga dua titik yang memenuhi adalah $(1,\,0)\mbox{ dan }(3,\,4)$.

$\begin{aligned}\mbox{Proyeksi } & =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}\\
& =\frac{5}{5}(2,1)\\
& =2\vec{i}+\vec{k}.
\end{aligned}
$

Tulis $\vec{u}=\overrightarrow{PQ}$. Kita tulis dalam vektor posisi, kita punya $\vec{u}=(-8,\,2,\,2)$.

Sehingga, proyeksi adalah;

$\begin{aligned}\frac{\vec{a}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u} & =\frac{(-1,\,2,\,-3)\cdot(-8,\,2,\,2)}{(-8,\,2,\,2)\cdot(-8,\,2,\,2)}(-8,\,2,\,2)\\
& =\frac{6}{72}(-8,\,2,\,2)\\
& =(-\frac{2}{3},\,\frac{1}{6},\,\frac{1}{6})
\end{aligned}
$

Perhatikan bahwa vektor proyeksi dari $\vec{a}$ pada$\vec{b}$ adalah $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}$.

Panjangnya adalah $|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}|=|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}||\vec{b}|$.

Jadi, kita punya $|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}|=\frac{1}{2}$.

Kita punya $\vec{a}\cdot\vec{b}=6-2y+2=8-2y$ dan $\vec{b}\cdot\vec{b}=4+y^{2}+4=y^{2}+8$.

Sehingga kita punya $|\frac{8-2y}{y^{2}+8}|=\frac{1}{2}$.

Di sini, kita punya dua kasus, antara $\frac{8-2y}{y^{2}+8}=\frac{1}{2}$ atau $\frac{8-2y}{y^{2}+8}=-\frac{1}{2}$.

Jika $\frac{8-2y}{y^{2}+8}=\frac{1}{2}$ , kita harus punya $8-2y\geq0$ , sehingga $y\leq4$.

Kemudian, kita punya $16-4y=y^{2}+8$ , sehingga kita punya $y^{2}+4y-8=0$.

Menggunakan rumus $abc$ , kita punya

$\begin{aligned}y & =\frac{-4\pm\sqrt{16+32}}{2}\\
& =-\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}\\
& =-2\pm\sqrt{12}\\
& =-2\pm2\sqrt{3}.
\end{aligned}
$

Jika $\frac{8-2y}{y^{2}+8}=-\frac{1}{2}$ , kita harus punya $8-2y\leq0$ , sehingga $y\geq4$.

Kemudian, kita punya $4y-16=y^{2}+8$ , sehingga kita punya $y^{2}-4y+24=0$.

Kita punya diskriminannya

$\begin{aligned}D & =(-4)^{2}-4\times1\times24\\
& =16-96\\
& =-80
\end{aligned}
$

sehingga persamaan tersebut tak punya solusi.

Jadi, solusinya adalah $-2\pm2\sqrt{3}$.

Karena ketiga vektor ada dalam satu bidang, dan yang ditanya hanya panjang, tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa ketiga vektor adalah vektor dua dimensi, dengan $\vec{b}=(2,\,0)$ (karena panjang vektor $\vec{b}$ adalah $2$).

Tulis $\vec{u}$ sebagai vektor satuan dari $\vec{a}$, dan tulis $\vec{z}$ sebagai vektor satuan dari $\vec{c}$.

Maka kita punya $\vec{u}=(\cos(S),\,\sin(S))$ dan $\vec{v}=(\cos(T),\,\sin(T))$, dengan $S,T$ adalah sudut dari vektor $\vec{u},\vec{v}$ terhadap sumbu $x$, (yaitu vektor $\vec{b})$.

Perhatikan bahwa $S=\pm60^{\circ}$ dan $T=\pm120^{\circ}$.

Jadi, kita punya $\vec{u}=(\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\sqrt{3})$ dan $\vec{v}=(-\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\sqrt{3})$.

Jadi, kita punya $\vec{a}=(\frac{3}{2},\pm\frac{3}{2}\sqrt{3})$ dan $\vec{c}=(-\frac{5}{2},\pm\frac{5}{2}\sqrt{3})$.

Jadi, kita punya beberapa kemungkinan untuk $\vec{a}-\vec{c}$, yaitu

$(4,-\sqrt{3})$

$(4,4\sqrt{3})$

$(4,\sqrt{3})$

$(4,-4\sqrt{3})$

Sehingga, vektor dari $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ juga memiliki beberapa kemungkinan, yaitu

$(6,-\sqrt{3})$

$(6,4\sqrt{3})$

$(6,\sqrt{3})$

$(6,-4\sqrt{3})$

Mudah dihitung panjang dari keempat vektor tersebut untuk memberikan $2$ kemungkinan dari $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|^{2}$, yaitu $39$ dan $84$.

Kita akan mencari bidang yang tegak lurus dengan garis $AB$ dan melewati titik $P$ dan namakan bidang tersebut dengan $u$. (revisi titik tembus kalian) Perhatikan bahwa $\overrightarrow{AB}=(1,\,-2,\,2)$.

Perhatikan bahwa bidang tersebut adalah kumpulan seluruh vektor yang tegak lurus $AB$, sehinggga, persamaan bidang tersebut adalah $(1,\,-2,\,2)\cdot(x,\, y,\, z)=0$, atau bisa ditulis $x-2y+2z=0$, dengan $(x,\, y,\, z)$ adalah vektor.

Sekarang, perhatikan bahwa untuk $(x,\, y,\, z)$ di koordinat kartesius, maka $x-2y+2z=0$ melewati titik $O(0,\,0,\,0)$ dan merupakan persamaan bidang yang tegak lurus $AB$. Dengan menggeser bidangnya, maka $x-2y+2z=k$ juga pasti tegak lurus $AB$.

Karena bidang tersebut melewati $P$, maka kita punya $6-2\times(-4)+2\times4=k$, dan kita dapat $k=22$.

Sehingga kita punya persamaan bidang $u:=x-2y+2z=22$.

Perhatikan bahwa persamaan garis $AB$ adalah $(2,\,1,\,2)+t(1,\,-2,\,2)$, dengan $t$ bilangan real.

Dapat ditulis, persamaan garis $AB=(2+t,\,1-2t,\,2+2t)$.

Kita akan mencari titik tembus dari garis $AB$ terhadap $u$, sebut saja dengan $Q$.

Maka kita punya, $(2+t)-2(1-2t)+2(2+2t)=22$, sehingga $2+t-2+4t+4+4t=22$, sehingga $9t+4=22$, sehingga $t=2$.

Jadi, $Q=(2,1,2)+(2,-4,4)=(4,-3,6)$.

Terakhir, karena $PQ$ ada di bidang $u$, maka $PQ$ tegak lurus $AB$, dan $Q$ ada di $AB$, sehingga jarak dari $P$ ke titik $AB$ adalah $|PQ|$.

Maka $\begin{aligned}|PQ| & =\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}\\
& =\sqrt{9}\\
& =3
\end{aligned}
$

Perhatikan bahwa $\vec{r}$ sebidang dengan $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ jika dan hanya jika $\vec{r}=u\vec{p}+v\vec{q}$ memiliki solusi $u,\, v$.

Jadi, kita punya;

$\begin{aligned}u\vec{p}+v\vec{q} & =(2u+v,\,-u+2v,\, u-3v)\\
& =(3,\, a,\,5)
\end{aligned}
$

Kita punya $2u+v=3$ dan $u-3v=5$, sehingga $\begin{aligned}2u+v-2(u-3v) & =3-10\\
& =-7
\end{aligned}
$

sehingga $7v=-7$. Jadi, $v=-1$.

Kemudian, $u+3=5$, sehingga $u=2$.

Maka $\begin{aligned}a & =u+2v\\
& =2-2\\
& =0
\end{aligned}
$

$cos\alpha=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

$cos60^{\circ}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|$….(1)

Proyeksi $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$:

$\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}$= $\frac{1}{2}\sqrt{5}\rightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$=\frac{1}{2}\sqrt{5}\left|\overrightarrow{b}\right|$…..(2)

substitusikan pers (1) ke pers (2) sehingga diperoleh :

$\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|$=$\frac{1}{2}\sqrt{5}\left|\overrightarrow{b}\right|$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{5}\rightarrow\left|\overrightarrow{a}\right|^{2}=5$

$x^{2}+(2x+1)^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}=5$

$x^{2}+4x^{2}+4x+1+3x^{2}=5$

$8x^{2}+4x-4=0$

$2x^{2}+x-1=0$

$\left(2x-1\right)(x+1)=0$

$x=\frac{1}{2}$ atau $x=-1$